Показатели вариации

Для измерения степени колеблемости отдельных значений признака исчисляются показатели вариации, в числе которых выделяют абсолютные показатели (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение), а также относительные – коэффициент вариации, коэффициент оссициляции и др.

Размах вариации (R) рассчитывается как разность между максимальным и минимальным значениями признака в данном вариационном ряду:

R=X_max – X_min

Пример 3.6: Имеются следующие данные о денежных доходах населения регионов Центрального черноземного района в 2008 г.:

Таблица 3.5

Область	Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц)
Белгородская область	12757,9
Воронежская область	10304,8
Курская область	11411,0
Липецкая область	12274,4
Тамбовская область	11252,8

Определить размах вариации среднедушевых денежных доходов населения регионов ЦЧР.

R=X_max – X_min=12757,9–10304,8=2453,1 руб.

Среднее линейное отклонение (d) представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической.

Среднее линейное отклонение рассчитывается как простое для несгруппированных данных и как взвешенное для вариационного

ряда.

Среднее линейное отклонение простое: , где n – число единиц совокупности.

Пример 3.7. По данным примера 3.6 требуется рассчитать среднее линейное отклонение среднедушевого дохода населения регионов ЦЧР.

Среднее линейное отклонение взвешенное: .

Дисперсия (²) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической. В зависимости от исходных данных рассчитывается двумя способами: как простая для несгруппированных данных и как взвешенная для вариационного ряда:

— дисперсия простая (невзвешенная);

— дисперсия взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение () представляет собой корень квадратный из дисперсии:

– среднее квадратическое отклонение простое;

– среднее квадратическое отклонение взвешенное.

Для сравнения размеров вариации различных признаков, а так же для сравнения вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется коэффициент вариации (V), который представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака, выраженное в процентах: .

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков а следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу.

Пример 3.8. Имеются выборочные данные о стаже работников коммерческих банков:

Таблица 3.6

Стаж, лет	Среднесписочная численность работников, чел.
До 3	10
3–5	48
5–7	28
7–9	10
Свыше 9	4
Итого	100

Определить:

1. средний стаж работников;

2. среднее линейное отклонение стажа;

3. дисперсию стажа;

4. среднее квадратическое отклонение стажа;

5. коэффициент вариации стажа работников.

Решение: (расчетные данные см. в таблице 3.7)

Таблица 3.7 – Расчетные данные для примера 3.8.

Стаж, лет	Среднесписочная численность работников, чел.	Середина интервала
До 3	10	2	20	–3	30	90
3–5	48	4	192	–1	48	48
5–7	28	6	168	1	28	28
7–9	10	8	80	3	30	90
9 и более	4	10	40	5	20	100
Итого	100	–	500	–	156	356

1. Средний стаж работников: лет;

2. Среднее линейное отклонение:

3. Дисперсия: ;

4. Среднее квадратическое отклонение:

5. Коэффициент вариации: .

При небольших значениях вариантов (как в приведенном выше примере 3.8) дисперсию удобней рассчитывать, используя способ моментов: . При использовании способа моментов дисперсия также может быть рассчитана как простая и как взвешенная:

– дисперсия простая;

– дисперсия взвешенная.

Пример 3.9. По данным примера 3.8 рассчитать дисперсию способом моментов:

Таблица 3.8

Стаж, лет	Среднесписочная численность работников, чел.	Середина интервала
До 3	10	2	20	40
3 – 5	48	4	192	768
5 – 7	28	6	168	1008
7 – 9	10	8	80	640
Свыше 9	4	10	40	400
Итого	100	–	500	2856

.