3. Средние величины и показатели вариации

Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

ИСС= Суммарное значение или объем осредняемого признака

Число единиц или объем совокупности

Так, например, для расчета среднего размера вклада в банке необходимо сумму всех вкладов разделить на число вкладов:

ИСС= Сумма всех вкладов (тыс. руб.)

Число всех вкладов

От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется один из вариантов средней величины. Это может быть средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и т.д. Перечисленные средние объединяются в группу степенных средних.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая рассчитывается как отношение суммы значений признака к числу единиц исследуемой совокупности:

,

где – x_i – i–тый вариант рассматриваемого признака;

n – число единиц совокупности.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда варианты признака представлены для каждой единицы совокупности (данные не сгруппированы).

Пример 3.1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс. руб. Требуется определить средний доход банка по данной операции.

Решение: Средний доход по операциям с ценными бумагами равен тыс. руб.

Если данные представлены в виде дискретных или интервальных рядов распределения, в которых одинаковые значения признака (x) объединены в группы, имеющие различное число единиц (f), называемое частотой или весом, применяется средняя арифметическая взвешенная:

,

где – x_i – i–тый вариант рассматриваемого признака;

f_i – число единиц в каждой группе (частота).

Пример 3.2. Имеются следующие данные о доходах 60 банков по операциям с ценными бумагами:

Таблица 3.1

Доход банка по операциям с ценными бумагами, тыс. руб.	Число банков	Удельный вес группы в общем числе банков, % (di)	Общий объем полученных доходов от операций с ценными бумагами (xi*fi)	xi*di
0,4	6	10	2,4	4
0,7	15	25	10,5	17,5
0,8	12	20	9,6	16
1,1	15	25	16,5	27,5
1,2	12	20	14,4	24
Итого:	60	100	53,4	89

Определить среднюю прибыль банка по операциям с ценными бумагами.

Решение:

тыс. руб.

В качестве весов могут быть использованы относительные величины, выраженные в процентах (d):

тыс. руб.

Для расчета средней из интервального ряда распределения необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом, которое определяется как арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Дальнейший расчет ведется аналогично примеру 3.2.

В тех случаях, когда исходные данные представлены таким образом, что известен числитель исходного соотношения средней (ИСС) и не известен его знаменатель, применяется средняя гармоническая.

Пример 3.3. Имеются следующие данные по оплате труда работников двух цехов предприятия за месяц:

Таблица 3.2

№ цеха	Фонд оплаты труда, тыс. руб.	Средняя заработная плата, чел. (х)
1	3080	14000
2	3325	13300

Требуется определить среднюю заработную плату одного рабочего по двум цехам.

Решение: Основой выбора формы средней является реальное содержание определяемого показателя:

Средняя заработная плата = Фонд оплаты труда / численность работников

В данном примере отсутствуют данные о численности работников, но их можно определить как отношение фонда оплаты труда к средней заработной плате. Таким образом средняя заработная плата одного рабочего равна:

тыс. руб.

При расчетах использована формула средней гармонической взвешенной:

, где

В примере 3.3 M_i – фонд оплаты труда каждого цеха.

Средняя гармоническая рассчитывается так же, как простая, по формуле:

Помимо степенных средних в экономической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой является варианта признака, которая обладает наибольшей частотой.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

,

где х₀ – нижняя граница модального интервала;

i – длина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo–1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Пример 3.4. Имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

Таблица 3.3

Заработная плата, руб.	Число работников, чел.
5000 – 6000	10
6000 – 7000	30
7000 – 8000	70
8000 – 9000	60
9000 – 10000	25
Свыше 10000	5

Определить модальный размер заработной платы.

Решение: наибольшее число работников – 70 человек – имеют заработную плату в интервале 7000–8000 руб., который и является модальным.

руб.

Медианой называется варианта, расположенная в середине ранжированного ряда распределения и делящая его на две равные части. Ранжированным называют ряд распределения, в котором единицы совокупности расположены в порядке возрастания или убывания признака.

В примере 3.1 медианой является величина признака, равная 0,8. В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

,

где – х₀ – нижняя граница медианного интервала;

i – длинна медианного интервала;

f – сумма частот ряда;

S_Me–1 – сумма накопленных частот ряда в интервале, предшествующем медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

Пример 3.5. Имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

Таблица 3.4

Заработная плата, руб.	Число работников, чел.	Сумма накопленных частот (S)
5000 – 6000	10	10
6000 – 7000	30	10+30=40
7000 – 8000	70	10+30+70=110
8000 – 9000	60
9000 – 10000	25
Свыше 10000	5
Итого:	200

Определить медианный размер заработной платы.

Решение: для определения медианного интервала требуется рассчитать сумму накопленных частот до тех пор, пока в одном из интервалов она не превысит половину объема совокупности ( ).

В графе «сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 7000 – 8000. Этот интервал является медианным.

руб.

По результатам расчетов можно сделать вывод о том, что половина рабочих имеют заработную плату до 7857,14 руб., а половина – выше этой суммы.