6. Индексы

Индексы – обобщающие относительные показатели, которые характеризуют изменение исследуемого явления во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (планируемым, нормативным уровнем и т.п.).

Методики построения и расчета индексов как для временных, так и для пространственных сравнений одинаковы. Не различаются между собой и методы построения индексов различных явлений. Поэтому в данном разделе формулы для расчета индексов приведены на примере индексируемых цен (p), физического объема продаж (производства) (q), товарооборота (pq), изменяющихся во времени.

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс (i). Он характеризует изменение во времени (или в пространстве) одноименных явлений. По сути, индивидуальные индексы представляют собой относительные величины сравнения, динамики или выполнения плана (договора):

– индивидуальный индекс физического объема;

– индивидуальный индекс цен;

– индивидуальный индекс товарооборота,

где подстрочное обозначение «0» соответствует уровню базисного периода (с которым производится сравнение), «1» – уровню отчетного (сравниваемого) периода.

Приведенные в качестве примеров три индивидуальных индекса взаимосвязаны между собой: . Данная взаимосвязь показывает, что изменение товарооборота складывается под воздействием динамики цены и (или) изменения объема продажи данного товара.

Изменения совокупностей, состоящих из элементов, непосредственно не сопоставимых (например, из различных видов продукции), изучают с помощью общих (сводных) индексов (I). Последние по методам построения разделяются на агрегатные индексы и средневзвешенные из индивидуальных индексов.

Агрегатные индексы:

1. Индекс физического объема ,

где q – индексируемая величина, – соизмеритель, или вес, который фиксируется на уровне одного периода. В индексах объемных показателей весами являются (цена, себестоимость, трудоемкость и др.), зафиксированные на уровне базисного периода.

Разница между числителем и знаменателем данного индекса:

характеризует абсолютное изменение товарооборота (прирост или снижение) за счет изменения физического объема реализованной продукции.

2. Индекс цен (и других качественных показателей: себестоимости, производительности труда и др.)

(формула Пааше) и

(формула Ласпейреса),

где q – признак–вес, зафиксированный в одном из периодов (отчетном или базисном).

Индекс цен Пааше показывает, во сколько раз изменился (уменьшился или увеличился) уровень цен на массу товара, реализованную в отчетном периоде, или сколько процентов составляет его рост или снижение в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Индекс цен Ласпейреса отражает изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, но по той продукции, которая была реализована в базисном периоде, и экономию или перерасход, который можно было бы получить от изменения цен. Иными словами, он показывает, во сколько раз товары базисного периода подорожали или подешевели в результате изменения цен на них в отчетном периоде.

Разница между числителем и знаменателем индексов ( ) отражает абсолютное изменение товарооборота от изменения цены, или экономию (перерасход) населения в результате изменения цен.

3. Индекс товарооборота ,

где pq – индексируемое сложное явление, в состав которого входят соизмеримые элементы совокупности.

Разница между числителем и знаменателем индекса ( ) характеризует абсолютное изменение товарооборота вследствие влияния обоих факторов: цен на продукцию и объема продаж.

Если индексы качественных показателей (цены, себестоимости и т.д.) построены на основе весов, взятых на уровне отчетного периода, то рассмотренные выше агрегатные индексы, а также их элементы взаимосвязаны между собой:

(мультипликативная модель);

(аддитивная модель).

Участие каждого фактора в формировании общего прироста товарооборота в относительном выражении может быть определено следующим образом:

(фактор цен);

(фактор объема).

При этом или 100%.

Пример 6.1. Имеются следующие данные о проданных товарах:

Таблица 6.1

Виды продукции	Единицы измерения	Объем производства продукции, тыс. т.		Цена за единицу, тыс.руб./т.
		Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
А	кг	109	108	5,4	5,3
Б	л	5,8	4,8	6,9	6,8
В	Т	4,1	5,3	4,7	4,7
Г	кг	25,6	20,5	17,8	17,6

Определить:

1. Индивидуальные индексы объемов продаж каждого вида продукции, цен, товарооборота;

2. Агрегатный индекс физического объема;

3. Агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Ласпейреса;

4. Агрегатный индекс товарооборота;

5. Абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объема продаж, цен и за счет совместного действия обоих факторов.

Показать взаимосвязь между индексами и между абсолютными приростами товарооборота.

Решение:

1. Индивидуальные индексы

товар «А»

или 98% (снижение на 2%)  индивидуальный индекс цен;

или 99% (снижение на 1%)  индивидуальный индекс объема продаж;

или 97% (снижение на 3%)  индивидуальный индекс товарооборота.

При этом .

Таким образом, товарооборот по товару «А» снизился на 3% за счет снижения объема продаж на 1%, а также снижения цены единицы данного товара на 2%.

Аналогично можно рассчитать указанные индивидуальные индексы по оставшимся видам продукции.

2. Агрегатный индекс физического объема.

или 91,2% (объем продаж по всем видам продукции в целом снизился на 8,8%).

3. Агрегатные индексы цен по формулам Пааше и Ласпейреса.

Индекс Пааше:

или 98,5% (цены на все товары снизились в среднем на 1,5%).

Индекс Ласпейреса:

или 98.5%.

4. Агрегатный индекс товарооборота.

или 89% (товарооборот по всем видам продукции в целом снизился на 11%)

5. Абсолютные приросты товарооборота за счет изменения объема продаж, цен и за счет совместного действия обоих факторов.

тыс. руб. (за счет снижения объемов продаж товарооборот снизился на 97,44 тыс. руб.)

тыс. руб. (за счет снижения цен товарооборот снизился на 15,38 тыс. руб., следовательно, продавец потерял (а покупатели сэкономили) эту сумму).

тыс. руб.

(товарооборот снизился на 112,82 тыс. руб.).

Взаимосвязь между индексами (действует при условии, что индекс цен найден по методике Пааше):

между индексами: ;

между абсолютными приростами товарооборота:

В ряде случаев вместо агрегатной формы индексов удобнее использовать средние индексы из индивидуальных (арифметические или гармонические). Любой агрегатный индекс можно преобразовать в средний арифметический или средний гармонический из индивидуальных индексов.

Предположим, необходимо рассчитать сводный индекс цен ( ), но мы располагаем данными о стоимости проданной продукции в текущем периоде ( ) и индивидуальными индексами цен ( ). В таком случае в знаменателе сводного индекса цен можно использовать следующую замену: .

Таким образом, агрегатный индекс цен будет выражен как средний гармонический индекс цен.

Аналогичным образом, произведя замену: , получаем средний арифметический индекс цен.

Пример 6.2. Имеются следующие показатели по предприятию:

Таблица 6.2

Вид продукции	Изменение объема выпуска продукции в III квартале по сравнению с I кварталом, %	Общие затраты рабочего времени на производство продукции в I квартале, тыс. чел.–час.
КЛ–1	–8	16
МН–6	+2	10

Определить:

1. На сколько процентов изменился выпуск продукции по двум видам продукции;

2. Как изменилась трудоемкость продукции, если общие затраты времени на ее производство в III квартале снизились на 10%;

3. Экономию рабочего времени в результате снижения трудоемкости.

Решение:

1. Изменение объема выпуска продукции в III квартале по сравнению с I кварталом – это темп прироста показателя ( ). Следовательно, агрегатный индекс объема выпущенной продукции необходимо преобразовать в средний индекс из индивидуальных: (объем произведенной продукции снизился на 4,2%).

2. (трудоемкость продукции снизилась на 6.1%)

3. тыс. чел.–час.

Если сравнивают друг с другом не два периода, а более, то выделяют цепную и базисную системы индексов.

Цепные и базисные индивидуальные индексы взаимосвязаны между собой:

1. Произведение цепных индексов равно конечному базисному;

2. Частное от деления двух смежных базисных индексов равно промежуточному цепному.

Между цепными и базисными сводными индексами, построенными на основе постоянных весов, существует взаимосвязь, аналогичная взаимосвязи между индивидуальными индексами.

Индексы, построенные на основе переменных весов, непосредственно перемножать и делить нельзя.

Пример 6.3. Имеются следующие данные о продаже масла в магазине по кварталам года:

Таблица 6.3

Масло	I квартал		II квартал		III квартал
	Объем, тыс. ед.	Цена, руб.	Объем, тыс. ед.	Цена, руб.	Объем, тыс. ед.	Цена, руб.
В пачках	1,2	5,2	1,1	5,4	0,9	5,6
Развесное	0,4	22,0	0,41	22,0	0,38	22,4

Вычислить цепные и базисные индивидуальные и общие индексы физического объема.

Показать взаимосвязь между ними.

Решение:

1. Индивидуальные индексы (на примере масла в пачках):

Цепные: ; .

Базисные: ;

(индексы по маслу развесному вычисляются аналогично).

2. Общие:

Цепные: ;

.

Базисные: ;

Взаимосвязь индексов:

;

;

;

.

Индексный метод широко применяется также для изучения динамики средних величин и выявления факторов, влияющих на динамику средних. С этой целью исчисляется система взаимосвязанных индексов: переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

Индекс переменного состава для любых качественных показателей имеет следующий вид:

.

Величина этого индекса характеризует изменение средневзвешенной средней за счет влияния двух факторов: осредняемого показателя и структуры изучаемой совокупности.

Индекс постоянного (фиксированного) состава характеризует изменение только индексируемой величины (x) и отражает динамику изучаемого показателя (при неизменной структуре). В общем виде его можно представить следующим образом:

.

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры совокупности на динамику среднего уровня показателя и рассчитывается по формуле:

.

Система взаимосвязанных индексов при анализе динамики среднего уровня качественного показателя имеет вид:

Аналогично приведенным формулам строятся индексы средних уровней цен себестоимости продукции, фондоотдачи, производительности труда и др.

Пример 6.4. Имеются следующие данные о выпуске однородной продукции по предприятиям холдинга:

Таблица 6.4

№ предприятия	Выпуск продукции, тыс. ед.		Себестоимость единицы продукции. руб.		Индивидуальный индекс себестоимости
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
1	40	36	7,0	8,0	1,143
2	60	84	6,0	6,5	1,083
Итого	100	120	6,4	6,95	1,086

Определить для двух предприятий:

1. среднюю себестоимость единицы продукции по каждому кварталу;

2. индекс средней себестоимости продукции;

3. среднее изменение себестоимости продукции;

4. индекс структурных сдвигов.

Решение:

1. Средняя себестоимость единицы продукции определяется как средняя арифметическая взвешенная:

руб.

руб.

2. Индекс средней себестоимости продукции (переменного состава): или 108,6% (средняя себестоимость единицы продукции по двум предприятиям увеличилась на 8,6%).

3. среднее изменение себестоимости продукции:

, или 110,3% (в среднем по двум предприятиям себестоимость продукции повысилась на 10,3%).

4. индекс структурных сдвигов:

5. или 98,5%.

Средняя себестоимость единицы продукции по двум предприятиям снизилась на 1,5% за счет изменения удельного веса продукции отдельных предприятий в общем выпуске.

Общий вывод: если бы происшедшие изменения себестоимости продукции не сопровождались структурными перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимость продукции возросла бы на 10,3%. Изменение структуры выпуска продукции отдельных предприятий в общем объеме производства вызвало снижение себестоимости на 1,5%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю себестоимость продукции по двум предприятиям на 8,6%.

Для сравнения показателей в пространстве, т.е. по предприятиям, округам, городам, районам и пр. применяются территориальные

индексы.

При двусторонних сравнениях каждая территория может быть и сравниваемой (числитель) и базой сравнения (знаменатель). При этом могут быть использованы:

• суммарные веса;

• стандартизированные веса.

Пример 6.5: Имеются следующие данные о цене и объемах реализации товаров по двум регионам:

Таблица 6.5

Товар (i)	Региона А		Регион В		Расчетные графы
	Цена, руб. ( )	Реализация, ц., ( )	Цена, руб. ( )	Реализация, ц., ( )	Реализация, ц,	, руб.	, руб.
1	11	30	12	35	65	715	780
2	8,5	45	9	50	95	807,5	855
3	17	15	16	90	105	1785	1680
Итого:						3307,5	3315

Рассчитаем территориальный индекс цен согласно формуле:

или 100,2% (цены в регионе В на 0,2% превышают цены в регионе А). Данному выводу не противоречит индекс:

или 99,8%.

В качестве стандартизированных весов может выступать структура продажи данных видов продукции по более крупной территории (например, региону А):

,

где – объем продаж i–го товара.

Третий способ расчета территориальных индексов учитывает соотношение весов на каждой из сравниваемых территорий. При этом способе в первую очередь рассчитывается средняя цена каждого вида продукции по двум территориям вместе взятым:

.

После чего территориальный индекс выглядит следующим образом:

.

По данным примера 6.5: средние цены:

.

индекс цен:

или 102,2%.

Данный подход к расчету территориального индекса обеспечивает взаимосвязь индексов: .

Индекс физического объема реализации при этом строится следующим образом:

.