4. Выборочное наблюдение

Целью выборочного наблюдения является определение характеристик генеральной совокупности – генеральной средней ( ) и генеральной доли (р). Характеристики выборочной совокупности – выборочная средняя ( ) и выборочная доля ( ) отличаются от генеральных характеристик на величину ошибки выборки.

Ошибка выборки определяется на основе показателя предельной ошибки выборки:

,

где – средняя ошибка выборки, t – коэффициент доверия, которому соответствуют вероятности, с которыми гарантированы определенные размеры предельной ошибки выборки (см. табл. 4.1).

Таблица 4.1. – Значения коэффициента доверия при различных значениях доверительной вероятности

Вероятность P(t)	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Коэффициент доверия (t)	1	1,5	2	2,5	3	3,5

Таким образом, результаты выборочного наблюдения при их распространении на генеральную совокупность находятся в пределах некоторого интервала значений (доверительного интервала):

• доверительный интервал генеральной средней: ;

• доверительный интервал генеральной доли: .

Способы расчета средней ошибки выборки ( ) разработаны в теории вероятностей для каждого способа отбора:

1. При случайном повторном отборе средняя ошибка выборки определяется по формулам:

• – для средней ( );

• – для доли ( ).

2. При бесповторном случайном отборе средняя ошибка для средней ( ) и для доли ( ) определяется по формулам:

• – для средней ( );

• – для доли ( ).¹

Таким образом, предельная ошибка выборки рассчитывается по формулам:

	При повторном отборе	При бесповторном отборе
Для средней величины признака
Для доли единиц, обладающих исследуемым признаком

Пример 4.1. В результате выборочного обследования 1000 жителей города с целью оценки жилищных условий населения, общая численность которого составляет 20000 человек, получены следующие данные:

Таблица 4.2

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м2	До 5,0	5,0 – 10,0	10,0 – 15,0	15,0 – 20,0	20,0 – 25,0	25.0 – 30,0	30,0 и более
Число жителей	8	95	204	270	210	130	83

Требуется определить:

1. средний размер общей (полезной) площади, приходящейся на одного человека с вероятностью 0,954;

2. долю (удельный вес) граждан, общая (полезная) площадь жилища которых составляет 20 м² и более.

Решение: определим доверительный интервал среднего размера общей (полезной) площади, приходящейся на одного человека с вероятностью 0,954.

Доверительный интервал генеральной средней рассчитывается следующим образом: .

Для расчетов в первую очередь необходимо рассчитать средний размер общей (полезной) площади по выборке и его дисперсию (расчетные данные представлены в таблице 4.3).

Средний размер общей (полезной) площади: м²

Рассчитаем дисперсию способом моментов:

Таблица 4.3 – Расчетные данные для примера 4.1

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м2	Число жителей, fi	Середина интервала, хi
До 5,0	8	2,5	20,0	50,0
5,0 – 10,0	95	7,5	712,0	5342,75
10,0 – 15,0	204	12,5	2550,0	31875,0
15,0 – 20,0	270	17,5	4725,0	82687,5
20,0 – 25,0	210	22,5	4725,0	106321,5
25.0 – 30,0	130	27,5	3575,0	98312,5
30,0 и более	83	32,5	2697,0	87668,75
Итого:	1000	–	19005,0	412259,0

Рассмотрим решение задачи в условиях повторного и бесповторного отбора единиц в выборку (при вероятности P(t)=0,954 коэффициент доверия равен 2) :

1. При повторном отборе ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле: .

м², таким образом, при повторном отборе единиц в выборочную совокупность с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний размер общей (полезной) площади, приходящейся на одного человека в городе, находится в интервале:

,

.

2. При бесповторном отборе ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле: . .

м², таким образом, при бесповторном отборе с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний размер общей (полезной) площади, приходящейся на одного человека в городе, находится в интервале:

,

.

Для определения доверительного интервала генеральной доли (удельного веса) граждан размер общей (полезной) площади жилища которых составляет 20 м² и более, необходимо в первую очередь определить долю этих лиц в выборке: .

В выборке число жителей, средняя общая площадь жилища которых составляет 20 м² и более: m=210+130+83=423 чел. Их доля (удельный вес) в общей численности выборки: .

Рассмотрим решение задачи в условиях повторного и бесповторного отбора единиц в выборку (при вероятности P(t)=0,954 коэффициент доверия равен 2):

1. При повторном отборе ошибка выборочной доли рассчитывается по формуле: .

, таким образом, при повторном отборе единиц в выборочную совокупность с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля жителей города средний размер общей площади жилищ которых составляет 20 м² и более, находится в интервале:

,

или .

2. При бесповторном отборе ошибка выборочной средней рассчитывается по формуле: . .

м², таким образом, при бесповторном отборе с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля жителей города средний общая площадь жилищ которых составляет 20 м² и более, находится в интервале:

,

или .

В практике проектирования выборочного наблюдения возникает потребность в нахождении численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных характеристик – средней и доли.

Предельная ошибка выборки, вероятность ее появления и вариация признака предварительно известны.

При случайном повторном отборе численность выборки определяется:

1. – для средней величины признака;

2. – для доли единиц, обладающих исследуемым признаком.

При случайном бесповторном отборе необходимая численность выборки определяется:

1. – для средней величины признака;

2. – для доли единиц, обладающих исследуемым признаком.