1.16.3. Метод двух узлов

Наиболее рациональный метод расчета токов в цепях, содержащих два узла, – метод двух узлов. Рассмотрим порядок расчета на примере схемы рис. 1.27.

Рис. 1.27. Схема трехконтурной электрической цепи с двумя источниками э.д.с.

Находим напряжение между точками а и b:

.

Ток в любой ветви определяется по формуле:

.

Допустим: E₁ = 120 В, E₂ = 50 В, R₁ = 2 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 1 Ом, R₄ = 10 Ом.

Находим напряжение между узлами а и b:

Токи в ветвях схемы:

По расчету токи l₂, l₃ ,l₄ получились со знаком «минус», т.е. на схеме рис. 1.27 они должны быть направлены в противоположную сторону.

Проверка:

по первому закону Кирхгофа для узла а составляем уравнение:

I₁ = I₂ + I₃ + I₄;

57,3 = 1,35 + 55,4 + 0,54;

57,3=57,29.

по уравнению баланса мощности:

1.16.4. Метод узловых потенциалов

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы узлов, называется методом узловых потенциалов. Допустим, в схеме у узлов. Так как любая одна точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в схеме, то один из узлов можно заземлить, т.е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с у до (у – 1).

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые нужно составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В тех случаях, когда (у – 1) меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 1.28.

Рис. 1.28. Схема четырехконтурной электрической цепи с четырьмя источниками э.д.с.

Принимаем потенциал одного из узлов схемы, например, третьего, равным нулю, обозначим положительные направления токов и записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для первого и второго узлов:

I₆ + I₅ – I₁– I₄ = 0;

I₃ – I₂ – I₆ – I₅ = 0.

Токи в ветвях схемы:

I₆ = (φ₁–φ₂) g₆; I₅ = (φ₁–φ₂ + Е₅) g₅ ;

I₂ = (–φ₂ + Е₂) g₂; I₃ = (φ₂ + Е₃) g₃ ;

I₁ = (–φ₁ + Е₁) g₁; I₄ = (–φ₁ ) g₄ .

Подставим значения токов в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа:

φ₁ g₆ – φ₂ g₆ +φ₁ g₅ – φ₂ g₅ + Е₅g₅ + φ₁ g₁ – Е₁g₁ + φ₁ g₄ = 0

φ₁ g₃ +E₃ g₃ + φ₂ g₂ – E₂ g₂ – φ₁g₆ + φ₂ g₆ – φ₁g₅ + φ₂ g₅ – E₅ g₅ = 0.

Производим группировку членов:

φ₁ (g₆ + g₅ + g₁ + g₄) – φ₂ (g₆ + g₅) = Е₁g₁ – Е₅g₅

–φ₁ (g₆ + g₅) + φ₂ (g₃ + g₂ + g₆ + g₅) = Е₂g₂ – Е₃g₃ + Е₅g₅ ,

где: g₆ + g₅ + g₁ + g₄ = g₁₁ – собственная проводимость первого узла;

g₃ + g₂ + g₆ + g₅ = g₂₂ – собственная проводимость второго узла;

g₆ + g₅ = g₁₂ = g₂₁ – общая узловая проводимость.

Окончательно получаем:

φ₁ g₁₁ – φ₂ g₁₂ =

–φ₁ g₂₁ + φ₂ g₂₂ = .

В результате решения системы уравнений известными методами определяем φ₁ и φ₂.

Подставляя значения φ₁ и φ₂ в уравнения для токов, находим действительные токи в ветвях схемы.

1.16.5. Метод эквивалентного генератора (метод холостого хода и короткого замыкания)

На практике часто бывает необходимо изучить режим работы только одной из ветвей сложной электрической схемы, при этом не следует производить расчет всей схемы, а целесообразно воспользоваться методом эквивалентного генератора. Согласно этому методу в схеме выделяется исследуемая ветвь и расчет производится в следующем порядке:

1. произвольно выбираем направление тока в исследуемой ветви;

2. определяем напряжение холостого хода U_хх на зажимах разомкнутой исследуемой ветви;

3) находим входное (эквивалентное) сопротивление схемы со стороны зажимов разомкнутой ветви R_э’ если известен ток короткого замыкания I_к.э., то ;

4) находим ток в исследуемой ветви:

,

где: R – сопротивление ветви, в которой определяется ток;

Е – э.д.с. в исследуемой ветви, если ветвь не содержит э.д.с, то Е = 0.

Знаки «плюс» или «минус» в последнем выражении выбираются в соответствии с законом Ома для участка цепи, содержащего э.д.с.

Рассмотрим применение метода эквивалентного генератора на примере схемы рис. 1.29, допустим Е₂ = Е₃ = Е₄ = 20 В, Е₅ = 50 В, R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 2 Ом; R₅ = 3 Ом, требуется определить ток в ветви bс.

Рис. 1.29. Схема трехконтурной электрической цепи с четырьмя источниками э. д. с.

Указываем направление тока в ветви bс и определяем напряжение холостого хода U_bcxx на зажимах ветви bс. Схема в этом случае имеет вид, показанный на рис. 1.30.

Для нахождения U_bcxx вначале находим ток I₁ и напряжение U_ac по методу двух узлов:

Рис. 1.30. Схема для определения напряжения холостого хода U_bcxx по методу эквивалентного генератора

Напряжение U_bcxx определяется по второму закону Кирхгофа, обходя контур bасb:

U_bcxx = R₁I₁ + U_ac = 2·5+8 = 18 B.

Определяем эквивалентное сопротивление относительно зажимов bc, схема в этом случае имеет вид, показанный на рис. 1.31:

Рис. 1.31. Схема для определения эквивалентного сопротивления

относительно зажимов bс no методу эквивалентного генератора

Находим ток в исследуемой ветви bс :

А,

т.е. ток I_bc в схеме имеет направление, противоположное выбранному.