Формула Симпсона (парабол)

При n=2 интерполирование выполняется по точкам:

a, c=1/2(a+b) и b.

(6.9)

(6.10)

(6.11)

Пример.

Аппроксимация функции

Дан класс функций R, определенных на отрезке [a, b]. Для заданной функции f(x) и

з аданной точности e > 0 найти функцию F(x)ÎR, такую, что имеет место неравенство:

, хÎ[a, b] (5.1)

где через обозначена мера близости функций. Левую часть выражения (5.1) еще называют критерием согласия.

Первая группа состоит из линейных комбинаций функций

1 , х , х ² ,…, х ⁿ, (5.2)

т.е. совпадает с классом алгебраических полиномов степени n или меньше.

Второй класс образуют линейные комбинации

функций cos a_ix, sin a_ix. Этот класс тесно связан с рядами Фурье.

Третья группа состоит из линейной комбинации функций . В этом случае рассматриваемая задача становится экспоненциальной аппроксимацией.

Критерии согласия:

Точное совпадение приближающей функции с заданными значениями у_i, i=0, 1, 2,…, n в узловых точках. Этот критерий называется интерполяцией, он приводит к алгоритмам, которые игнорируют помехи (шумы), которыми могут быть осложнены значения у_i. При наличии больших ошибок в значениях у_i, полученная при интерполяции функция, может сильно отклониться от искомой между узлами.

Второй относительно хороший критерий – это метод наименьших квадратов (МНК). Он означает, что сумма квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от замеренных значений у_i в узлах х_i, i=0, 1, 2,…, n была возможно наименьшей, или, другими словами, минимизирована. По существу, этот критерий использует избыточную информацию, чтобы произвести некоторое сглаживание шума. Он популярен, так как имеет красивую законченную математическую теорию и хорошо согласуется с принципами природы.

Третий критерий основан на минимизации максимального отклонения сглаженного значения от замеренного. Этот критерий носит название равномерного приближения или приближения Чебышева (по имени математика, автора критерия).

Метод наименьших квадратов

Пусть имеется n наблюдений (х_i, у_i), i=0, 1, 2,…, n и требуется приблизитьэти данные многочленом степени N < n:

Р_N(x)=a₀+a₁x+ a₂x²+…+ a_N x^N (5.3)

т аким, который минимизирует функцию

. (5.4)

Левая часть выражения (5.4) содержит независимые параметры ,

п оэтому оно обозначено функцией . Согласно МНК надо найти те значения параметров (5.3), которые доставляют минимум функции

Необходимым условием минимума является равенство нулю в этой точке первых производных:

…………………. (5.5)

Д ля функции (5.4) эта система уравнений принимает вид:

, (5.6)

к=0, 1,…, N.

П осле несложных алгебраических преобразований получим систему линейных алгебраических уравнений:

…………………………………………………………… (5.7)

(5.7) является СЛАУ, определитель которой, как доказано в /5/, отличен от нуля. Значит СЛАУ (5.7) имеет единственное ненулевое решение. Из этого следует, что МНК в классе алгебраических полиномов порядка n дает единственное решение.

П ри N=1, т.е. при линейной аппроксимации МНК система (5.7) принимает вид:

(5.8)

Решать ее проще всего методом исключения неизвестных.

Пример. Таблично заданная функция имеет вид:

х	0 1 2 3 4
у	1 2 2,2 2,7 4,2

Н анесем эти точки на рисунок.

Рис6. Схема расположения точек и аппроксимирующая МНК прямая

Из расположения точек на рис.6 видно, что зависимость у=у(х) линейная, т.е. у=а₀+а₁х, отклонения значений у_i, i=0,1,…4 от этой зависимости могут быть обусловлены ошибками измерений и/или локальными неоднородностями изучаемого геологического объекта.Для нахождения линейной зависимости МНК необходимо составить систему (5.8) при N=1. Предварительные расчёты сведены в табл. 1. В этой таблице в последней строке приведены суммы значений соответствующих столбцов. По данным табл.1. составим аналог

СЛАУ (5.8):

5а₀+10а₁=12,1

10а₀+30а₁=31,3.

Таблица 1

х	у	х2	ху
1	2	3	4	5	6
0	1	0	0	1	0
1	2	1	2	1,71	0,0841
2	2,2	4	4,4	2,42	0,0484
3	2,7	9	8,1	3,13	0,1849
4	4,2	16	16,8	3,84	0,1297
10	12,1	30	31,3		0,447

Методом исключения неизвестных находим: а₀=1, а₁=0,71, значит зависимость имеет вид у=1+0,71х. Для проверки правильности расчетов нанесем эту линию на рисунок.

Для оценки качества аппроксимации следует найти сумму квадратов отклонений замеренных значений у_i от сглаженных в заданных узлах х _i , i= 0, 1,…, 4, обозначим ее S²_ocт.

З начения находят в данном примере из выражения =1+0,71×х_i, они записаны в пятом столбце таблицы 1. По числам шестого столбца находим

S²_ocт, в данном примере S²_ocт = 0,447.