Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y_i=f(x_i) для равноотстоящихзначений независимой переменной: х_i=х_о+ih (i= 0,1,2,...,п), где h - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином Р_п (х) степени не выше п, принимающий в точках x_i значения y_i:

P_n(x_i)=y_i, (i = 0, 1,...,n). (4.2)

Следуя Ньютону, будем искать полином Р_п(х) в виде:

Р_п(х) = а_о+а₁(х - х₀) + а₂ (х-х₀)(х-х₁) +а₃(х - х₀)(х – х₁)(х - х₂) +...+а_п(х - х_о)(х – х₁)...(х - х_п-1). (4.3)

Наша задача состоит в определении коэффициентов а_i (i = 0, 1, 2, ...,n) полинома Р_п(х). Полагая х=х₀ в выражениях (4.2) и (4.3), получим:

Р_п (х)=у₀=а₀.

Чтобы найти коэффициент a₁, положим в выражениях (4.2) и (4.3) х=х₁, получим: Р_п (х₁)=Dу₀=а₁h

Откуда (4.4)

Д ля определения коэффициента а₂ аналогично подставляем х=х₂ в (4.2) и (4.3), тогда

П оследовательно продолжая этот процесс, обнаружим что (i=0, 1, 2,…,n), где

положено 0!=1.

П одставляя найденные значения коэффициентов а_i (4.4) в выражение (4.3), получим интерполяционный полином Ньютона (ИПН):

(4.5)

Формула (4.5) потенциально содержит большие погрешности, т.к. все члены правой части кроме первого содержат в знаменателе выражение h_k. При малом значении h это приводит к делению на очень маленькие числа. А такие операции приводят к большой потере точности.

Уменьшить вычислительную погрешность формулы (4.5) позволяет линейное преобразование t= , тогда

и т.д.

С учетом рассмотренного преобразования формула (4.5) принимает вид:

(4.6)

Это и есть окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона.

Пример. Конечные разности для таблично заданной функции приведены в таблице

Таблица 3

х	у	Dу	D2у	D3у	D4у
1	2	3	4	5	6
1,2	0,0792	0,0347	-0,0025	-0,0003	-0,0001
1,3	0,1139	0,0322	-0,0022	-0,0002	0,0001
1,4	0,1461	0,0300	-0,0020	-0,0003
1,5	0,1761	0,0280	-0,0017
1,6	0,2041	0,0263
1,7	0,2304

Д ля функции заданной таблично в столбцах (1) и (2) табл. 3 требуетсявычислить значение при х=1,25. Так как конечные разности D⁴у_i практическиравны нулю, их незначительные по абсолютной величине значения обусловлены ошибками округления, поэтому имеет смысл строить интерполирующий многочлен третьего порядка.

Вначале вычислим

Тогда

f(1,25)=0,0792+0,5×0,0347+(-0,0025)×0,5×(-0,5)/2+(-0,0003)×(-0,25)×(-1,5)/6=

=0,09686.

Замечание 1. Заметим, что при h→ 0 формула (4.5) превращается в ряд Т ейлора для функции у.

В самом деле,

Кроме того, очевидно,

Отсюда при h® 0 формула (4.5) принимает вид полинома Тейлора:

Замечание 2. Рассмотрим частные случаи формулы (4.6). При n=1 (4.6) принимает вид: Р₁(х)=у₀+у₀t, т. е. линейной интерполяционной формулы, а при n=2 P₂(x)=y₀+у₀ t+²у₀ - квадратичной или параболической формулы интерполяции.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

К ак будет показано далее на примере, формулу (4.6) рекомендуется использовать для интерполяции функции у=f(x) в окрестности начального значения х₀, где t мало по абсолютной величине.

П

По формуле (4.6) получим f(1,65)=0,2154. Так как lg(1,65)=0,2175, значит f(1,65) вычислено только с двумя верными знаками. Отсюда следует, что не рекомендуется использовать первую формулу Ньютона вблизи конца таблицы. В этом случае следует использовать вторую ИФН, которая дает здесь более точные значения.

Пусть дан набор значений функции f(x):

у_i=f(x_i), i=0, 1, 2,…, n (4.7)

ример. По данным предыдущей таблицы вычислить f(1,65), .для равноотстоящих значений аргумента x_i=x₀+ih.

для равноотстоящих значений аргумента x_i=x₀+ih.Построим интерполяционный полином вида:

P_n(x)=a₀+a₁(x-x_n)+a₂(x-x_n)( x-x_n-1)+…+a_n( x-x_n)(x-x_n-1)…(x-x₁). (4.8)

Найти полином значит определить его коэффициенты a₀, a₁,…,а_n причем так, чтобы были выполнены равенства

P_n(x_i)=y_i, i=0, 1, 2,…,n. (4.9)

Положим х=х_n в формулах (4.9) и (4.8), получим

P_n(x_n)=y_n=a₀,

следовательно,

а₀ = у_n. (4.10)

З атем, полагая в (4.9) и (4.8) х = х_n-1 и, учитывая определение первой конечной разности, получим:

(4.11)

.

А налогично, вычислив а₂,…, а_n, и подставляя эти выражения в (4.8), получим:

(4.12)

Ф ормулу (4.12) называют второй ИФН. С целью уменьшения вычислительной

погрешности сделаем линейное преобразование , тогда

и т.д. Подставляя эти значения в (4.12), получим:

. (4.13)

Если вычислить f(1,65) по второй ИФН (4.13), получим f(1,65)=2,304+0,0263(-0,5)-0,0017(-0,5)(0,5)/2=0,2173. Сопоставляя полученное значение с табличным, делаем вывод, что оно вычислено с тремя верными знаками.