7.2.4. Форма ( ) чотириполюсника.
Визначимо матрицю за коефіцієнтами матриці .
.
Визначник
матриці
,
тому
,
,
,
.
Визначник
.
Тобто з чотирьох коефіцієнтів матриці
незалежними є тільки три.
Скалярні рівняння форми чотириполюсника мають вигляд:
7.2.5. Форма чотириполюсника.
Скалярна система рівнянь форми має вигляд:
Матричний запис рівнянь форми
.
Визначимо
елементи матриці
за матрицею
чотириполюсника. Для цього скалярну
систему рівнянь форми
перетворимо таким чином, щоб надати їм
вигляду форми
,
тобто виразимо
та
через
та
.
З рівняння (7.4) форми
знаходимо
Підставимо
в рівняння (7.3) форми
Зіставимо отримані вирази для та із скалярною формою запису рівнянь форми . Одержимо:
.
Розглянемо відношення елементів
тобто
.
Знову таки, з чотирьох коефіцієнтів форми незалежними є тільки три.
7.2.6. Форма ( ) чотириполюсника.
Скалярна система рівнянь має вигляд:
Матричний запис рівнянь форми
.
Визначимо коефіцієнти матриці за коефіцієнтами форми :
де
,
,
,
.
Я
к
і в інших формах матриця
має лише три незалежних елемента, тому
що
.
Слід відзначити, що додатний напрямок струму можна прийняти протилежним (рис. 7.3). При цьому усі співвідношення, що були отримані раніше, зміняться за рахунок зміни знаків перед елементами матриць. Це можна врахувати, якщо простежити, перед якими елементами кожної матриці з’явиться знак «- ».
7.3. З’єднання чотириполюсників.
7.3.1. Каскадне з’єднання чотириполюсників.
Приклад каскадного з’єднання подано на рис. 7.4.
Т
аке
з’єднання чотириполюсників називають
каскадним, однак в деяких курсах,
наприклад, у курсі «Автоматичне управління
та регулювання» його називають
послідовним. При такому з’єднанні
вихідні затискачі попереднього
чотириполюсника є вхідними затискачами
наступного.
Розглянемо каскадне з’єднання двох чотириполюсників. Запишемо матричні рівняння у формі першого та другого чотириполюсника:
;
(7.8)
.
(7.9)
Підставимо
в рівняння (7.8) замість матриці
тотожну їй матрицю
:
.
Таким чином, при каскадному з’єднанні чотириполюсників матриці перемножуються. Це є справедливим при будь якому числі ланок.
7.3.2. Паралельне з’єднання чотириполюсників.
З’єднання, при якому однойменні затискачі чотириполюсників з’єднані поміж собою, зветься паралельним.
В
попередніх викладках ми виходили з
того, що прямий та зворотний струм для
однойменних затискачів чотириполюсника
є однаковим, тобто
,
(рис. 7.5). Те ж саме відноситься до вихідних
затискачів 2-2/
та 4 – 4/.
Ц
і
рівняння є основою усіх співвідношень,
що були отримані раніше для окремих
чотириполюсників.
Для ізольованого чотириполюсника і для усієї сукупності чотириполюсників ці рівняння завжди є справедливими, тому що вони витікають з першого закону Кірхгофа для складного вузла. Однак, для окремих чотириполюсників, що входять до складу такої групи (у даному випадку паралельно з’єднаних чотириполюсників), ця умова не завжди виконується, тоді всі відомі співвідношення для чотириполюсників не є справедливими. Запишемо перший закон Кірхгофа для складного вузла АВС:
,
звідки
зовсім не випливає, що
та
З’єднання чотириполюсників, при якому умова рівності прямого та зворотного струмів зберігається у всіх чотириполюсників, називається регулярним. Якщо ця умова не виконується, то таке з’єднання чотириполюсників буде нерегулярним.
Приклад нерегулярного з’єднання приведений на рис. 7.6. Для верхнього та нижнього чотириполюсників вхідні струми не дорівнюють зворотним струмам.
М
ожна
показати, що є справедливим наступний
критерій
регулярності
паралельно з’єднаних чотириполюсників.
напруга
при прямій передачі та закорочених
затискачах 2-2/
та 4-4/
та напруга
при зворотній передачі та закорочених
затискачах 1-1/
та 3-3/
дорівнюють нулеві.
Визначення цих напруг може бути проведено як розрахунковим шляхом, так і експериментальним.
Запишемо матричні рівняння для окремих паралельно з’єднаних чотириполюсників у формі , вважаючи з’єднання чотириполюсників регулярним:
,
.
Загальний вхідний струм дорівнює сумі вхідних струмів складових чотириполюсників, так саме як і вихідний струм, тобто
,
де
.
Висновок. При регулярному паралельному з’єднанні будь якої кількості чотириполюсників матриці окремих чотириполюсників додаються.
7.3.3. Послідовне з’єднання чотириполюсників.
З’єднання, при якому вхідні затискачі (так саме як і вихідні затискачі) з’єднані поміж собою послідовно, називається послідовним (рис. 7.7).
Послідовне з’єднання, так саме як і паралельне, може бути регулярним та нерегулярним.
Вважаючи з’єднання чотириполюсників регулярним, запишемо матричні рівняння окремих чотириполюсників у формі :
;
.
Загальна вхідна напруга дорівнює сумі вхідних напруг на кожному чотириполюснику. Те саме відноситься і до вихідної напруги.
,
де
.
Висновок. При регулярному послідовному з’єднанні будь-якої кількості чотириполюсників матриці додаються.
Існують ще три способи з’єднання чотириполюсників.
Зворотний каскад – це каскадне з’єднання чотириполюсників, коли живлення подається на вихідні затискачі. Матриця результуючого чотириполюсника при цьому дорівнює добутку матриць складових чотириполюсників.
Паралельно-послідовне з’єднання – вхідні затискачі чотириполюсників з’єднані паралельно, а вихідні – послідовно. При цьому додаються матриці складових чотириполюсників.
Послідовно-паралельне з’єднання – вхідні затискачі з’єднані послідовно, а вихідні – паралельно. При цьому додаються матриці складових чотириполюсників.