7.2. Форми запису рівнянь чотириполюсника.

Матриці чотириполюсника.

Обмежимося розглядом лінійних пасивних прохідних чотириполюсників. Активний чотириполюсник завжди можна замінити еквівалентним пасивним чотириполюсником і винесеним за його межі джерелом ЕРС.

Існують 6 форм запису рівнянь чотириполюсника, які можна звести в наступну табл. 7.1.

Таблиця 7.1

Форма (матриця)	Обчислити	Дано
Y
Z, чи Y-1
A
B, чи A-1
H
G, чи H-1

Для одержання матриць чотириполюсників необхідно визначити коефіцієнти, які пов’язують для кожної конкретної схеми вхідні і вихідні струми і напруги чотириполюсника. Елементи матриці можна визначити як експериментальним, так і розрахунковим шляхом.

7.2.1. Форма чотириполюсника.

Визначимо коефіцієнти матриці чотириполюсника за матрицею опорів кола метода контурних струмів.

За заданими напругами та чотириполюсника (рис. 7.2) необхідно визначити струми та .

Використаємо метод контурних струмів. Виберемо контури таким чином, щоб вхідні затискачі увійшли тільки до першого контуру, а вихідні – тільки до другого контуру. Інші контури будуть проходити по внутрішній схемі чотириполюсника.

Для вибраних контурів , .

Розв’язок задачі за методом контурних струмів має вигляд

,

де ;

- визначник матриці опорів кола;

- алгебричне доповнення відповідного елемента визначника.

Для даної схеми матриця контурних струмів має вигляд

,

де , .

Визначимо контурні струми:

Якщо ввести позначення:

то отримаємо скалярну форму запису рівнянь чотириполюсника у формі :

(7.1)

(7.2)

Матричне рівняння форми має вид

,

де , .

Враховуючи, що в матриці опорів , то одержимо , тобто з чотирьох коефіцієнтів чотириполюсника форми незалежними є тільки три. Розмірність елементів матриці є сименс (См).

7.2.2. Форма чотириполюсника.

Для одержання коефіцієнтів матриці розв’яжемо матричне рівняння форми відносно матриці напруг .

, де - матриця зворотна матриці .

,

де , , , .

З співвідношення витікає, що . Тобто у формі також з чотирьох елементів матриці тільки три є незалежними. Розмірність усіх елементів матриці – Ом.

7.2.3. Форма чотириполюсника.

Раніше ця форма вважалась основною і широко використовувалася в енергетиці.

Скалярні рівняння форми мають вигляд:

(7.3)

(7.4)

Матрична форма запису:

, де .

Отримаємо елементи матриці за елементами матриці . Для цього перепишемо скалярні рівняння форми за формою матриці .

З рівняння (7.2) знаходимо

. (7.5)

Підставимо в рівняння (7.1) вираз для із (7.5) та отримаємо

(7.6)

Зіставляючи рівняння (7.3) та (7.4) з (7.5) та (7.6), маємо:

У матриці з чотирьох елементів незалежними також є тільки три. Для того, щоб довести це, покажемо, що визначник матриці дорівнює 1, тобто

. (7.7)

Для цього достатньо в (7.7) підставити вирази коефіцієнтів форми через коефіцієнти форми та врахувати, що . Це важлива властивість матриці .