4.3. Комплексна провідність кола. Еквівалентні перетворення

послідовного та паралельного з’єднання елементів.

Трикутник провідностей.

Величина, яка є оберненою комплексному опору кола, називається комплексною провідністю (позначається ).

.

Дійсну частину комплексної провідності позначають буквою та називають активною провідністю.

Уявну частину позначають буквою та називають реактивною провідністю.

Активна провідність завжди додатна, а реактивна – може бути як додатною, так і від’ємною величиною в залежності від знаку реактивного опору .

Величина обернена повному опору кола називається повною провідністю.

.

Уведеним вище провідностям відповідає так званий трикутник провідностей (рис. 4.6).

Р озглянемо послідовне з’єднання активного та реактивного опорів (рис. 4.7,а). Нехай реактивний опір має індуктивний характер.

Запишемо еквівалентну комплексну провідність ділянки кола

. (4.1)

Згідно виразу (4.1) ділянка послідовного кола аб може бути подана у вигляді паралельного з’єднання елементів (рис. 4.7,б) з еквівалентними активним та реактивним опорами. Еквівалентний активний опір при паралельному з’єднанні , а еквівалентний реактивний опір - .

Т аким чином, будь яке послідовне з’єднання активного і реактивного елементів можна замінити еквівалентним паралельним. Так саме справедлива і зворотна заміна (рис. 4.8)

.

Слід відзначити, що параметри еквівалентних активних і реактивних опорів (провідностей) залежать від частоти , тому така заміна справедлива лише на фіксованій частоті.

Уведемо поняття активної і реактивної складової струму.

Для цього розглянемо паралельне коло (рис. 4.9), до якого прикладена напруга . За законом Ома

.

Складова струму , яка збігається за фазою з прикладеною напругою, називається активною складовою струму і позначається .

С кладова струму , яка відстає від напруги на кут 90^°, називається реактивною складовою і позначається .

Таким чином, через активну провідність буде протікати активний струм, а через реактивну – реактивний струм.

Якщо направити за дійсною віссю, то векторна діаграма струмів буде мати вигляд як на рис. 4.10.

Як приклад побудуємо векторну діаграму струмів для паралельного з’єднання елементів (рис. 4.11).

Для цього спочатку визначимо струм на вході кола.

Направимо вектор напруги за дійсною віссю, тобто .

Якщо , тоді і , . Векторна діаграма для цього випадку подана на рис. 4.12,а.

Якщо , тоді , . Векторна діаграма представлена на рис. 4.12,б.

Лекція 9

План лекції:

4.4. Резонанс в паралельному контурі (резонанс струмів).

4.5. Частотні та резонансні характеристики паралельного контуру.

4.6. Умова передачі максимальної потужності від джерела напруги до навантаження.

4.4. Резонанс в паралельному контурі (резонанс струмів).

Коло, що складається з паралельних віток з різними за характером накопичувальними елементами, називається паралельним контуром.

З визначення виходить, що можливо 4 варіанти паралельного контуру (рис. 4.13).

Контур першого виду називається простим контуром тому що в інших трьох контурах разом із резонансом в паралельному контурі можливий резонанс в послідовному одному чи у двох контурах.

З гадаємо визначення резонансу. Під резонансом розуміють такий режим роботи електричного кола, що містить ємності та індуктивності, при якому зсув фаз між струмом та напругою на вході кола дорівнює нулеві.

Комплексну провідність паралельних віток можна записати в вигляді

,

д е - активна провідність, - реактивна провідність, - кут зсуву фаз між струмом і напругою .

З визначення резонансу ( ) випливає умова резонансу: .

Комплексна схема заміщення паралельного контуру наведена на рис. 4.14, де , .

Визначимо комплексну провідність паралельного контуру.

Умова резонансу для паралельного контуру будь якого виду

.

З умови резонансу можна визначити резонансну частоту.

Визначимо її для простого паралельного контуру, тобто для контуру І виду. В цьому контурі (див. рис. 4.13)

; ( ).

Підставимо в умову резонансу замість та їх значення та розв’яжемо одержане рівняння відносно частоти .

.

Приводимо вираз до загального знаменника і чисельник дорівнюємо нулеві

.

Після перетворення одержимо

, або .

Враховуючи введені раніше позначення

, ,

отримаємо вираз для резонансної частоти паралельного контуру І виду

.

Якщо в паралельному контурі прийняти , то такий паралельний контур називається ідеальним. Для нього

.

В загальному випадку резонансна частота паралельного контуру відрізняється від резонансної частоти ідеального контуру і залежить від співвідношення активних опорів та хвильового опора.

Проаналізуємо вираз для резонансної частоти паралельного контуру.

Випадок перший: . Добротність контуру .

В контурах з низькою добротністю не проявляється ніяких особливостей в поведінці струмів і напруг, тому ми не будемо на них зупинятися.

Випадок другий: чи .

При такому співвідношенні параметрів під коренем маємо від’ємне число, резонансна частота - уявна, і резонанс в колі з такими параметрами неможливий.

Випадок третій: . Добротність контуру мала .

Вираз для резонансної частоти невизначений, тому що в чисельнику і в знаменнику отримаємо нулі. Умова резонансу виконується на будь-яких частотах, тобто резонанс спостерігається на всіх частотах, тому його називають «байдужим» резонансом.

Випадок четвертий: . При такій умові маємо контур з високою добротністю, в якому яскраво проявляються резонансні явища. Для практичного використання цей випадок найцікавіший. Розглянемо його детальніше.

Якщо , то у виразі для активними опорами можна знехтувати, при цьому:

; ; .

Тоді вираз для повної провідності контуру на частоті резонансу має вигляд

.

Величина, що є зворотною , являє собою активний опір паралельного контуру при резонансі, який називають еквівалентним опором та позначають

,

де - добротність паралельного контуру.

Таким чином, при резонансі еквівалентний опір паралельного контуру високої добротності в разів вище за суму активних опорів віток.

Простежимо якісно залежність повного опору паралельного контуру від частоти (випадок четвертий, ) (рис. 4.15).

З аналізу схеми паралельного контуру першого виду видно, що при , а при .

На резонансній частоті повний опір

.

Висновки. Вхідний опір паралельного контуру на резонансній частоті досягає максимального значення, яке в разів перевищує сумарний активний опір віток. В ідеальному паралельному контурі при вхідний опір прямує до нескінченості, тобто контур не пропускає електричного струму (еквівалентний розриву кола).

Побудуємо векторну діаграму паралельного контуру І виду (рис. 4.16) для випадку резонансу. Позначимо струми в вітках - та , а загальний струм - .

Представимо загальний струм у вигляді суми активної та реактивної складових . Модуль реактивної складової можна записати через реактивну провідність

При резонансі , тому реактивна складова загального струму дорівнює нулеві. Реактивні складові струмів в вітках та дорівнюють між собою за величиною, протилежно спрямовані і компенсують одна одну. Тому резонанс в паралельному контурі отримав назву резонансу струмів.

Загальний струм при резонансі дорівнює активному струму

Звідки отримуємо . При , .

Висновок. При резонансі струми у паралельних вітках контуру високої добротності в разів перевищують струм на вході контуру.

Векторна діаграма паралельного контуру при наведена на рис. 4.17.

Аналогічно розглянутому вище послідовному контуру, при резонансі паралельний контур споживає від джерела тільки активну потужність. Обміну реактивною потужністю між джерелом та колом не відбувається. Обмін енергією між магнітним полем індуктивності та електричним полем ємності є збалансованим, тобто енергія, що накопичена за чверть періоду в електричному полі ємності, за другу чверть періоду повністю віддається індуктивності та навпаки.

.