3.3. Метод комплексних амплітуд.

3.3.1. Загальні положення.

Метод комплексних амплітуд був запропонований для розрахунку електричних кіл гармонічного струму американськими інженерами Ч.П. Штейнмецем та А.Е. Конелі наприкінці 19 століття.

Сутність методу – це заміна системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь, складених за законами Кірхгофа для миттєвих значень гармонічних струмів, напруг, ЕРС і СРС, системою лінійних алгебричних рівнянь, але у комплексній формі. Перш ніж перейти до викладання методу комплексних амплітуд, наведемо деякі відомості з курсу математики, які потрібні для розуміння цього питання.

• Комплексні числа

Величина називається уявною одиницею. Але в електротехніці буквою позначається миттєве значення змінного струму і тому, щоб не плутати їх, в електротехніці домовилися позначати уявну одиницю .

Добуток уявної одиниці на дійсне число називається уявним числом - .

Число , яке складається з дійсної та уявної частини зветься комплексним числом, записаним у алгебричній формі. Комплексне число можна зобразити у комплексній площині – це Декартові координати, де за віссю абсцис відкладаються дійсні числа, а за віссю ординат – уявні числа.

У показниковій формі комплексне число має вигляд ,

де А – модуль комплексного числа,  - аргумент.

Перехід від алгебричної до показникової форми здійснюється наступним чином:

; .

Якщо модуль А визначається однозначно, то при визначенні аргументу треба враховувати чверть, у якій знаходиться комплексне число . Якщо позначити _М - арктангенс відношення уявної і дійсної частини комплексного числа, взятого за модулем

,

то для вірного визначення аргументу  слід користатися рис. 3.3.

Перехід від показникової форми комплексного числа до алгебричної однозначний і здійснюється за допомогою формули Ейлера

.

Наведемо деякі співвідношення, які будуть корисними у подальшому:

3.3.2. Комплексне перетворення.

гармонічну функцію часу назвемо оригіналом.

Тоді комплексне число, яке визначається інтегральним перетворенням для оригіналу, записаному через синус

або через косинус

,

називається комплексною амплітудою.

Комплексна амплітуда – це комплексне число, модуль якого дорівнює амплітуді гармонічного коливання, а аргумент – початковій фазі. Як будь-яке комплексне число комплексну амплітуду можна зобразити у комплексній площині (рис. 3.4).

Скорочено комплексне перетворення будемо позначати

тобто оригіналу відповідає комплексна амплітуда (комплексне зображення оригіналу) .

Властивості комплексного перетворення.

Якщо оригіналу , то

1. , де – С – стала величина .

2. .

3. .

4. .

3 .3.3. Комплексна схема заміщення. Закон Ома в комплексній формі.

Перейдемо до викладу сутності методу комплексних амплітуд. Розглянемо електричне коло з послідовно з’єднаними елементами R, L і C (послідовний-контур) , на вході якого діє гармонічна напруга

( рис. 3.5).

Запишемо другий закон Кірхгофа для миттєвих значень

. (3.1)

Оскільки похідна, а також інтеграл від гармонічної функції є гармонічними функціями тієї же частоти, то струм і всі напруги у колі також є гармонічними функціями.

Для визначення струму треба розв’язати лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку. Розв’язок такого рівняння відомий і не викликає особливих труднощів. Але ж це найбільш просте електричне коло. Якщо зважити, що реальні електричні кола мають не одну вітку, а набагато більше, то необхідно буде розв’язувати вже систему диференціальних рівнянь, що є набагато складнішим завданням. Щоб спростити задачу, зробимо таким чином.

Застосуємо до лівої і правої частини рівняння (3.1) комплексне перетворення і скористаємося його властивостями.

Маємо:

, (3.2)

де - комплексна амплітуда струму у колі,

- комплексна амплітуда напруги на вході електричного кола.

Перший доданок рівняння (3.2) назвемо комплексною напругою на опорі і позначимо

.

Видно, що , тобто струм і напруга в опорі збігаються за фазою. Введемо поняття векторної діаграми.

Зображення комплексних амплітуд струмів і напруг у комплексній площині називається векторною діаграмою. Векторна діаграма дає наочне уявлення про співвідношення між струмами і напругами у електричному колі і використовується для більш глибокого розуміння процесів, які мають місце у електричному колі. Для складних електричних кіл векторна діаграма будується таким чином, що вона відображає перший чи другий закони Кірхгофа у комплексній площині.

Н а рис. 3.6, а і б – зображені відповідно часова і векторна діаграми струму і напруги в опорі R.

Другий доданок в рівнянні (3.2) назвемо комплексною амплітудою напруги на індуктивності і позначимо

,

де , тобто напруга на індуктивності випереджає струм за фазою на кут 90^.

На рис. 3.7, а і б, зображені відповідно часова та векторна діаграми струму і напруги в індуктивності.

Уведемо позначення:

- комплексний опір індуктивності;

- опір індуктивності або індуктивний опір.

Н а рис. 3.8, а і б подані залежності активного і індуктивного опорів від кутової частоти. На високих частотах опори реальних елементів – резисторів збільшуються за рахунок скин-ефекту.

Третій доданок в рівнянні (3.2) назвемо комплексною амплітудою напруги на ємності і позначимо.

,

де , а .

Таким чином, напруга на ємності відстає від струму за фазою на кут 90.

На рис. 3.9, а і б, зображені відповідно часова та векторна діаграми струму і напруги в ємності.

Уводимо позначення:

- комплексній опір ємності,

- опір ємності або ємнісний опір.

На рис. 3.10 показана залежність ємнісного опору від кутової частоти.

На підставі рівняння (3.2), а також уведених позначень можна скласти так звану комплексну схему заміщення електричного кола гармонічного струму (рис. 3.11).

О пір R, в якому протікає гармонічний струм і(t), на комплексній схемі залишається тим же опором R, але в якому тече комплексний струм ; індуктивність L замінюється комплексним опором індуктивності ; ємність С - комплексним опором ємності ; гармонічна напруга чи ЕРС на вході u(t) або e(t) - відповідно комплексними амплітудами або , і за аналогією, гармонічна СРС - комплексною амплітудою СРС (рис. 3.12).

З урахуванням уведених позначень рівняння (3.2) можна записати у вигляді :

. (3.3)

В еличину називають реактивним опором електричного кола. Реактивний опір може бути як додатною, так і від’ємною величиною. Графік залежності реактивного опору від кутової частоти наведено на рис. 3.13.

У протилежність реактивному опору Х величину R називають активним опором.

Величину

(3.4)

називають комплексним опором електричного кола, де - повний опір кола, а - кут зсуву фаз між напругою і струмом у колі.

На підставі формули (3.4) можна побудувати прямокутний трикутник (рис. 3.14), який носить назву трикутника опорів.

З введенням комплексного опору кола рівняння (3.3) набуває вигляду

або . (3.5)

Рівняння (3.5) виражає закон Ома в комплексній формі, записаний стосовно комплексних амплітуд струму і напруги.

Величина у разів менша за комплексну амплітуду називається комплексним діючим значенням.

Отже для комплексних діючих значень закон Ома набуває вигляду:

або .

Щоб зрозуміти значення терміну кут зсуву фаз між напругою і струмом в електричному колі, запишемо закон Ома у вигляді

,

де , або

.

На векторних діаграмах кут  відлічується від струму до напруги. Кут  має від’ємне значення, якщо він відлічується за годинниковою стрілкою, і додатне – якщо проти.