14.Способы вычисления определителей

Определители матриц. Основные свойства определителей.

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:

Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка. Непосредственная проверка доказывает данное свойство.

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её определитель равен нулю.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен   , где элементыматриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.