3. Линейно зависимые и линейно независимые векторы.

Линейно зависимые и независимые системы векторов. Определение. Система векторов   называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми.

Теорема (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система век торов   линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

1) Если среди векторов   имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

В самом деле, если, например,  , то, полагая  , имеем нетривиальную линейную комбинацию  .▲

2) Если среди векторов   некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система   линейно зависима.

Действительно, пусть векторы  ,  , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация  , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая  , получим также нетривиальную линейную комбинацию  , равную нулевому вектору.

2. Базис и размерность.   Определение. Система линейно независимых векторов   векторного пространства   называетсябазисом этого пространства, если любой вектор из   может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора   существуют вещественные числа   такие, что имеет место равенство Это равенство называется разложением вектора   по базису  , а числа   называютсякоординатами вектора   относительно базиса (или в базисе)  .

Теорема (о единственности разложения по базису). Каждый вектор   пространства   может быть разложен по базису   единственным образом, т.е. координаты каждого вектора   в базисе   определяются однозначно.

 Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая

Теорема. При сложении двух любых векторов линейного пространства   их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при умножении произвольного вектора на любое число   все координаты этого вектора умножаются на  .

Определение. Векторное пространство   называется  -мерным, если в нем существуют   линейно независимых векторов, а любые   векторов уже являются линейно зависимыми. При этом число   называется размерностьюпространства  .

 Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю.

Размерность пространства   обычно обозначают символом  .

Определение. Векторное пространство   называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов. В этом случае пишут  .

Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства.

 Теорема. Если   – векторное пространство размерности  , то любые   линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

 Теорема. Если векторное пространство   имеет базис, состоящий из   векторов, то  .

13. Определители и их свойства

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:

Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка. Непосредственная проверка доказывает данное свойство.

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её определитель равен нулю.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен   , где элементыматриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.

16.Минор, алгебраичекоедопонение, ранг, их применение

Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения.

Пусть имеем определитель третьего порядка:  .

Минором, соответствующим данному элементу a_ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a_ij будем обозначать M_ij.

Например, минором M₁₂, соответствующим элементу a₁₂, будет определитель  , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

.

(1)

Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a₁₂, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что

Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.

Введём ещё одно понятие.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j.

Алгебраическое дополнение элемента a_ij обозначается A_ij.

Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством A_ij = (–1)^i+jM_ij.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.

В развернутом виде:

.

Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.

Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.

Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.

Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.

Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.

Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.