21Комплексні числа. Різні форми подання комплексних чисел. Дії над комплексними числами в алгебраїчній, тригонометричній та показниковій формах.

Комплексні числа та дії над ними

Комплексним числом називається впорядкована пара дійсних чисел . Число називається дійсною частиною комплексного числа та позначається , називається уявною частиною та позначається . Операції додавання та множення комплексних чисел виконуються за такими правилами:

;

.

Будемо вважати, що дійсні числа є частинним випадком комплексних чисел. Якщо ототожнити дійсне число з комплексним числом та назвати пару числом –уявною одиницею, то число можна записати у вигляді

.

Така форма запису комплексного числа називається алгебраїчною, а дії додавання та множення з числами в алгебраїчній формі зводяться до стандартних перетворень з урахуванням рівності .

Число називається числом, спряженим до числа . Добуток спряжених комплексних чисел є дійсним числом:

Ділення комплексних чисел виконується шляхом домноження числівника та знаменника дробу на число, спряжене до знаменника:

.

Геометричним образом комплексного числа є точка на координатній площині з відповідними декартовими координатами. Полярні координати цієї точки також є важливими характеристиками комплексного числа. Відповідний полярний радіус називається модулем комплексного числа, а полярний кут – його аргументом:

, .

Дійсна та уявна частини комплексного числа зв’язані з його модулем та аргументом співвідношеннями , .

Як відомо, кожній точці координатної площини відповідає безліч значень полярного куту, які відрізняються одне від одного на , де – ціле число.

Для однозначного визначення аргументу комплексного числа будемо обирати його з певного проміжку довжиною . Таке значення аргументу називається його головним значенням та позначається . Будемо вважати, що належить проміжку (досить часто також використовують проміжок ).Тоді модуль та головне значення аргументу комплексного числа доцільно обчислювати за формулами

;

або .

З урахуванням наведених вище співвідношень комплексне число можна представити у вигляді

.

Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною, а множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за формулами

;

.

З урахуванням формули Ейлера комплексне число може бути записано у показниковій формі

.

Якщо комплексні числа записані у показниковій формі, то дії множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за правилами ; .

Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке число, -ий степінь якого дорівнює . Обчислення кореня виконується за формулою

, ,

тобто корінь -го степеня має значень.