20Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів.

Для застосування рядів важливо вміти дану функцію f(x) розкладати у степеневий ряд, тобто функцію f(x) представляти у вигляді суми степеневого ряду.

Якщо функція f(x) має похідні будь-яких порядків в околі точки х₀ і залишковий член R_n(x) прямує до нуля при , то з формули Тейлора випливає розкладання функції f(x) за степенями (х - х₀), яке назвали рядом Тейлора:

(9).

Якщо у ряді Тейлора покласти х₀ = 0, то отримаємо розкладання функції за степенями х в так званий ряд Маклорена:

(10).

Для розкладання функції f(x) у ряд Маклорена (10) потрібно:

а) знайти похідні;

б) обчислити значення похідних у точці х₀ = 0;

в) написати ряд (10) для заданої функції і знайти його інтервал збіжності;

Наближене обчислення значень функцій

Нехай потрібно обчислити значення функції f(x) при х = х₁ із заданою точністю .

Якщо функцію f(x) в інтервалі (-R; R) можна розкластиустепеневий ряд і , то точне значення f(x₁) дорівнює сумі ряду при х = х₁, тобто а наближене - частковій сумі тобто .

Точність цієї рівності збільшується із зростанням n.

2.2 Наближене обчислення визначених інтегралів

Степеневі ряди застосовуються також для наближеного обчислення невизначених і визначених інтегралів у випадках, коли первісна не виражається в кінцевому вигляді через елементарні функції або знаходження первісної складне.

Нехай треба обчислити з точністю до . Якщо підінтегральну функцію можна розкласти у ряд за степенями х і інтервал збіжності (-R, R) містить відрізок інтегрування, то для обчислення заданого інтеграла можна скористатися властивістю почленного інтегрування цього ряду. Помилку обчислень визначають так само, як і при обчисленні значень функцій.

2.3 Наближене розв’язання диференціальних рівнянь

Якщо розв’язок диференціального рівняння не виражається через елементарні функції в кінцевому вигляді або спосіб його розв’язання складний, то для наближеного розв’язання рівняння можна скористатися рядом Тейлора.

Ознайомимося з двома способами розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою степеневих рядів.

Нехай, наприклад, треба розв’язати рівняння

(22)

яке задовольняє початковим умовам

. (23)

Розглянемо спосіб послідовного диференціювання.

Розв’язок рівняння (22) шукаємо у вигляді ряду Тейлора:

, (24)

при цьому перші два коефіцієнти знаходимо з початкових умов (23). Підставивши в рівняння (22) їх значення, обчислимо значення третього коефіцієнта: Значення знаходимо шляхом послідовного диференціювання рівняння (22) по х і обчислення похідних при Знайдені значення похідних (коефіцієнтів) підставляємо до формули (24). Ряд (24) є частинним розв’язком рівняння (21) для тих значень х, при яких він є збіжним. Часткова сума цього ряду буде наближеним розв’язком диференціального рівняння (21).

Цим способом можна шукати і загальний розв’язок рівняння (21), якщо і розглядати як довільні постійні.

Спосіб послідовного диференціювання застосовується для розв’язанняння диференціальних рівнянь будь-якого порядку.