16_Ряди, в яких знаки членів строго чергуються. Ознака Лейбніца

У попередньому пункті ми розглянули ряди з додатними членами. Ряди з недодатними членами можна досліджувати аналогічно, оскіль­ки від знакододатних вони відрізняються множником —1, який на збіжність ряду не впливає.

Розглянемо тепер ряд, знаки членів якого строго чергуються, тоб­то ряд, довільні два сусідні члени якого мають різні знаки:

и₁-и₂ + и₃-и_А+...+(-1)^n-1Un+…, (15)

де и_п> 0, п = 1, 2,.... Цей ряд досліджується на збіжність за допо­могою такої достатньої ознаки. Теорема 1 (ознака Лейбніца). Ряд (15) збіжний, якщо:

1. Un+1<Un,n=1, 2, ... ; (16)

2. n->∞limU_n=0.(17)

При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена. Розглянемо частинну суму з парним числом членів:

S_2n= и₁ — и₂ + u₃— u4 +…+и_2п-1— и_2п =

= (u₁— u₂) + (u₃ — u₄) +…+ (и_2п-1— и_2п)-

3 умови (16) випливає, що кожна різниця в дужках додатна, тому S_2n>0 і послідовність {S_2n} зростає із зростанням п. Крім того,

S_2n = u₁— [(u₂— u₃) + (u₄— u₅) +…+( и_2п-2— «и_2п-1) — и_2п)<и_1.

тобто послідовність обмежена зверху.

Отже, послідовність [S_2n)монотонно зростає і обмежена, тому має границю. Нехай limS_2n = S, тоді S≤ и_1.

Обчислимо границю сум з непарним індексом. Враховуючи умову (17), маємо

limS_2n+1= lim(S_2n+и_2п+1) = S + 0= S.

З рівностей

limS_2n= limS_2n+1= S

n->оо n->оо

випливає, що ряд (15) збіжний і сума його S≤u_1.

Зазначимо, що до рядів, знаки яких строго чергуються, належить також ряд

— и₁+ и₂ — и₃ + и₄ — и₅+…+(—1)"и_п+…, и_п>0. (18)

Якщо для такого ряду виконуються умови 1) і 2), то він збіжний, його сума S від'ємна і задовольняє нерівність | S|≤ и₁

Таким чином, для рядів (15) і (18) ознака Лейбніца формулюється так: якщо модуль п-гочлена ряду (15) чи (18) із зростанням п спадає і прямує до нуля, то ряд збіжний, причому модуль його суми не пере­вищує модуля першого члена.

Ряди (15) і (18), для яких виконується ознака Лейбніца, називають­ся рядами лейбніцевого типу.

Наслідок.Абсолютна похибка від заміни суми збіжного ря­ду (15) його частинною сумою не перевищує модуля першого з відкину­тих членів ряду, тобто

Is-S_nI≤ и_2п+1

Інакше кажучи, модуль n-го залишку r_пзбіжного ряду (15) не пе­ревищує модуля (п+ 1)-го члена цього ряду, тобтоIr_пI≤ и_2п+1

Дійсно, залишок збіжного ряду (15)

r_п = (-1)" и_2п+1+ (-1)^п+1и_п+2 +…

— це збіжний ряд, члени якого строго чергуються. За доведеним аб­солютна величина його суми не перевищує абсолютної величини пер­шого члена, тобто Іr_пІ≤и_п+1.

Цей наслідок широко використовується при наближених обчис­леннях.

О Очевидно, всі-гри умови ознаки Лейбніца виконуються: 1) знаки членів да­ного ряду строго чергуються; 2) модулі його членів монотонно спадають; 3) n-йчлен ряду прямує до нуля при п->∞. Отже, ряд збіжний і має певну суму S.

17.Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність.

Якщо серед членів ряду є як додатні, так і від’ємні, такий ряд називається знакозмінним.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним , якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів.

Якщо ряд є збіжним, а ряд з абсолютних величин розбігається, то такий знакозмінний ряд називається умовно збіжним .

Ряд, члени якого по черзі є додатними та від’ємними, називається рядом з чергуванням знаків ( або рядом Лейбніца).Такий ряд доцільно записувати у вигляді .

Теорема Лейбніца.

Якщо виконуються такі умови:

1) ; та

2) послідовність , , … …є монотонно спадною,

то ряд збігається.

Зауваження. Теорема Лейбніца надає достатню умову збіжності рядів з чергуванням знаків, отже, у випадку не монотонно спадної, але нескінченно малої послідовності робити висновок про розбіжність ряду неприпустимо.