8.Диференціальні рівняння, які допускають пониження порядку

Для диференціальних рівнянь вищих порядків одним із методів інтегрування є метод зниження порядку. Суть методу полягає в тому, що за допомогою заміни змінної (підстановки) рівняння зводиться до рівняння, порядок якого нижче. Розглянемо три типи рівнянь, що допускають зниження порядку. 1.Нехай задане рівняння . (1) Його порядок можна знизити, ввівши нову функцію р(х), припустивши що . Тоді й отримуємо диференціальне рівняння першого порядку. Розв’язавши його, тобто знайшовши функцію , розв’яжемо рівняння . Таким чином, отримаємо загальний розв’язок рівняння (1). На практиці роблять інакше: порядок знижується безпосередньо шляхом послідовного інтегрування рівняння.

Оскільки то рівняння (1) можна записати у вигляді. . Тоді, інтегруючи рівняння , отримуємо: , або . Далі, інтегруючи отримане рівняння по х, знаходимо тобто - загальний розв’язок заданого рівняння.

Якщо задане рівняння , то, проінтегрувавши його послідовно n разів, знайдемо спільний розв’язок рівняння: .

9Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

де   та   — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

де диференціальний оператор L - лінійний оператор, у - невідома функція (наприклад, від часу  ), а функція праворуч - ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

і, навіть точніше,

Лінійний оператор можна розглядати у формі

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

Тут D - диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегруючий множник

,

що дає

11Лінійні однорідні диференціальні.Р-ня 2 порядку зі сталими коефіцієнтами.

В загальному випадку Д.Р. ІІ порядку має вигляд F(x,y,y’,y’’)=0. Загальний розв’язок рівняння містить 2 довільні сталі y=(x,C₁,C₂) і за рахунок вибору C₁ і С₂ можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в пошуку частинного розв’язку y=y(x), що задовольняє початковій умові y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀’.

Однорідні.

Означення: Рівняння вигляду y’’+a₁y’+a₂y=0 називаються однорідними лінійними Д.Р.

Розв’язок:

y’’+a₁y’+a₂y=0

Складаємо характеристичне рівняння:

K²+a₁K+a₂=0

А) D>0

Б)D=0, K1,2= –b/2

В)D<0, K1,2 – комплексні числа. K1,2=XI

Зі спеціальною правою частиною.

А) f(x)=Pn(x);

Б)

В)

13Числові ряди. Геометрична прогресія. Гармонічний ряд.

1. Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.

Нехай   — деяка числова послідовність. Для кожного   визначена скінченна сума

Дві числові послідовності   та   називаються числовим рядом і позначаються

Число   називається n-тим членом, а число   — n-тою частковою сумою ряду.

Якщо послідовність часткових сум   збігається до деякого числа   (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число   — називається сумою цього ряду, і позначається

.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.

Геометричною прогресією називають послідовність b₁,b₂,b₃,...,b_n,..., кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q (q ≠ 0, |q| ≠ 1), яке називають знаменником геометричної прогресії. b_n+1 = b_n•q, де q ≠ 0, q ≠ 1.Наприклад, 1, 3, 9,...,3^n-1,... - геометрична прогресія, в якій b₁ = 1,q= г еометрична прогресія, в якій

В геометричной прогресії n-й член визначається формулою

b_n = b₁•q^n-1,

де n - номер члена, b_n - n-й член, b₁ - перший член, q - знаменник прогресії.

Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти за формулою

Нескінченно спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадна геометрична прогресія – це нескінченна геометрична прогресія, знаменник q якої за модулем є меншим від 1, тобто |q| < 1.

Сума всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії

S_n = b₁ + b₂ + ... + b_n + ...

є скінченним числом, яке визначається формулою

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно біля 10⁴³ елементів ряду).