22Поняття функції комплексної змінної. Границя і неперервність функції комплексної змінної.

Якщо задано закон , згідно з яким кожному значенню , яке належить множині , відповідає певне значення , то кажуть, що задана однозначна функція , яка визначена на та набуває значень в . Якщо значенню відповідає декілька значень , то функція є багатозначною.

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді

,

де та – функції дійсних змінних та .

Існування границі функції комплексної змінної еквівалентне одночасному існуванню границь дійсної та уявної частин та . Аналогічно неперервність функції у точці еквівалентна неперервності функцій та у точці .

Функція, неперервна у кожній точці області , називається неперервною у цій області.

23Похідна функції комплексної змінної. Правила диференціювання. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної.

Диференційовність функцій. Умови Коші-Рімана.

Околом точки називається внутрішність деякого круга на комплексній площині з центром у вказаній точці, тобто множина , .

Функція , яка визначена у деякому околі точки , називається диференційовноюу цій точці, якщо існує скінченна границя

,

яку називають похідною від функції в точці .

Геометричний зміст модуля та аргументу похідної

Нехай функція f (z) є аналітичною в точці z0 і f ′(z0 ) ≠0 . Тоді

модуль похідної | f ′(z0 ) | дорівнює коефіцієнту розтягу k в точці z0 при

відображенні w = f (z) площини z на площину w . Приk =| f ′(z0)|>1,

має місце розтяг, при k =| f ′(z0)|<1– стиск.

Аргумент похідної argf ′(z0 ) дорівнює куту ϕ, на який треба

повернути дотичну до кривої на площині z в точці z0 , щоб при

відображенні w = f (z) отримати дотичну до образа цієї кривої на

площині w у точці w0 = f (z 0) . Зауважимо, що якщо ϕ= argf ′(z)>0, то

поворот здійснюється проти годинникової стрілки, а при ϕ<0 – за

годинникової стрілкою.

24Умови Коші-Рімана. Аналітичні функції. Гармонічні функції.

Функція є диференційовною в точці тоді та тільки тоді, коли виконуються умови Коші-Рімана

, ,

при цьому

.

Однозначну функцію , яка у всіх точках деякої області є неперервнодиференційовною (має неперервну похідну), називають аналітичною (регулярною) в цій області.

Однозначні елементарні функції є аналітичними.

Елементарні функції комплексної змінної можна диференціювати за тими ж формулами, що і функції дійсної змінної.

Означення. Дійсна функція ϕ(x ,y) називається гармонійною в області

D , якщо вона має в цій області неперервні частинні похідні до другого

порядку включно та задовольняє рівнянню Лапласа:

25Інтеграл від функції комплексної змінної: означення, властивості, обчислення.

Розглянемо спрямлювану криву , в кожній точці якої задано функцію . Інтегралом від функції вздовж називають

,

де криву поділено на малі частки , – довільна точка, яка лежить на відповідній частці кривої, а границя існує і не залежить від способу поділу кривої на частки та від способу вибору точок .

Якщо є кусочно гладкою кривою, а функція – кусочно неперервна та обмежена, то цей інтеграл завжди існує. Він зводиться до обчислення вздовж кривої криволінійних інтегралів за координатами від функцій дійсних змінних

.

Наведемо основні властивості інтеграла від функції комплексної змінної.

1. 

2. 

3. , a – комплексне число.

4. , тобто при зміні напрямку шляху інтегрування інтеграл змінює свій знак на протилежний (в інших позначеннях кривої: ) .

5. , де L=L₁+L₂, тобто інтеграл по всьому шляху L дорівнює сумі інтегралів по його частинах L₁і L₂.

6. Оцінка модуля інтеграла. Якщо у всіх точках кривої L, то , де l – довжина кривої L.