Гидродинамика.

Изучает законы движения жидкости.

ω – скорость движения жидкости [м/с].

Линейная скорость. Она может быть усредненной для всего потока,а может быть точечной. Нельзя путать со скоростью расхода жидкости(!).Расход бывает массовым,объемным и удельным.

Полный массовый расход: кг/с] S-площадь сечения потока.

Полный обземный расход:

Удельные расходы вычисляются из полных путем деления полного расхода на площадь сечения трубопровода(не потока!)

Из-за совпадения размерности называют фиктивной линейной скоростью. Часто сокращения не производят,а записывают

Для перехода от удельных объемных расходов, которые можно измерить эксперемнтально, к линейной скорости скорости жидкости необходимо учесть как площадь сечения потока,так и площадь сечения трубопровода. Для этого введено понятие гидравлического радиуса.

(S-полное сечение трубопровода, П-смоченный жидкость периметр).

Докажем,что весь трубопровод весь заполнен текущей жидкостью

П П

Если трубопровод не круглый или жидкость течет с пустотами,то вместо ставим . При стационарном течении жидкости скорость движения в каждой точке потока будет разная.

, т.е. полный диффиренциал скорости жидкости в направлении “x” будет равен сумме диффиренциалов скоростей движения жидкостей не только по “x”,но и по “y” и ”z”.

Если жидкость движется с ускорением то

Появление временного параметра в уравнениях свидетельствует о нестационарности процесса. Существует 2 крайних режима течения жидкости - ламинированный и турбулентный. Между ними-переходный.

В ламинированном потоке ядро движется гораздо быстрее,поэтому средняя скорость течения ламинарного потока составляет 0.5 от максимальной скорости.

При турбулентном потоке скорость движения слоев выравнивается за счет завихрени, поэтому средняя скорость составляет 0.8-0.9 от максимальной.

Поскольку свободная турбуленция потока требует больших затрат энергии, то часто внутри потка устанавливают искусственные турбулизаторы. Этот режим течения называют вынужденной турбуленцией.

Основное уравнение гидродинамики - уравнение неразрывности потока.

Выделим в обьеме движущейся жидкости параллелепипед с ребрами длинной . Допустим, что в любом направлении ‘x’,“y” и ”z” есть сотавляющие скорости движения.

Запишем удельный массовый расход по направлению “x”

Тогда массовый расход по этому направлению будет:

В параллелепипеде в одну грань поток втекает, а из другой грани вытекает. И между этими гранями есть расстояние . Пусть имеется разница между потоком, втекающим в одну грань, и вытекающем через вторую. В этом случае при разности массовых потоков внутри параллелепипеда будет либо накопление либо убыток массы.

Через первую , а через вторую . Вид функции накопления массы мы не узнаем, поэтому . Тогда поток через вторую грань:

Из сравнения видно,что скорость накопления массы

Если аналогичная ситуция проходит по всем трем направлениям, то имеем ситему:

Полный дифференциал по скорости прироста массы по всем

направлениям будет равен сумме дифференциалов.

Накопление массы жидкости в твердом объеме паралеллепипеда обязательно будет приводить к изменению плотности жидкости. Скорость изменения плотности: . Тогда скорость накопления массы: .

- уравнение неразрывности потока.

Если жидкость несжимаемая ,тогда . Аналитического решения такого уравнения не существует, но если жидкость не сжимаемая, а площадь сечения потока ,то корнями будет .

Дифференциальные уравнения Эйлера для движущейся жидкости.

Ранее были получены уравнения Эйлера для неподвижной жидкости. Если жидкость движется и она идеальна, то по условиям неподвижной жидкости добавляется еще одна сила- сила инерции жидкости.

Учтем эту силу в системе уравнений Эйлера:

Уравнение Бернулли.

Вывод уравнения основан на использовании системы Эйлера для идеальной жидкости.

Выберем направление ”y”:

Поскольку ω,ρ и y переменные независимые,то:

– Уравнение Бернулли.

Как и основное уравнение гидростатики отражает сумму напоров: Н - геометрический, , статический, в сумме они определяют потенциальную энергию: - скоростной напор. Он отражает кинетическую энергию движущейся идельной жидкости.

Чтобы распространить уравнение Бернулли и на вязкие жидкости, в него вводят дополнительное слагаемое, которое называется потерянный напор.

- потерянный напор.

Уравнение Навье-Стокса.

При выводе этого уравнения учитывают как вязкость, так и сжимаемость жидкости,т.е. это уравнение для неидеальной жидкости. В объеме движущейся неидельной жидкости выделим элементарный параллелепипед с ребрами длиной

В этом объеме на жидкость действуют следующие силы : сила тяжести, сила давления, сила инерции, сила трения, сила упругости. Кроме двух последних остальные уравнения рассмотрены в уравнении Эйлера, поэтому расмотрим только их. В случае вязкой жидкости на гранях параллелепипеда возникают силы касательного напряжения.

μ-вязкость,n-координата.

Пусть в направлении ” касательное напряжение в начале грани будет , а в конце . Тогда изменение напряжения на плоскости в нправлении ” ” будет равно:

Произведение касательного напряжения на площадь даст силу трения. Тогда сила трения в начале грани будет равно:

, а в конце грани

Равнодействующая сила является разностью между начальной и конечной силой трения:

Исходя из определения напряжения получим,что:

Подставляем это выражение в результирующую силу трения:

Если учесть все напряжения, получим:

Полная результирующая сила трения будет равна сумме сил трения по всем направлениям

Результирующюю силу трения можно включить в систему уравнения Эйлера:

Система уравнений для движущейся вязкой жидкости

Если учесть силу упругости, то добавляется еще одно слагаемое вида

Здесь -это величина сдвига по соответствующей оси.

Полученная система уравнений с учетом вязкости жидкости называют системой Навье-Стокса. Для решения выбирают уравнение по оси “y” , однако аналитического решения этого уравнения не существует.

Упрощение в виде невязкой жидкости приводик уравнению Бернулли. Для практического применения уравнения Навье-Стокса применяют теорему о подобиях.