Глава 1 Задача теорії розкладу

Постановка задачі. Маємо n деталей і m верстатів. Кожна з n деталей повинна пройти обробку на m верстатах. Час обробки деталей на кожному верстаті задано. Слід вказати такий порядок обробки, щоб сумарний час обробки деталей був мінімальний. З другого боку, це означає мінімальний простій верстатів.

Така задача повністю розв’язана для випадку n деталей і 2-х верстатів.

Для двох верстатів існує (n!)² можливостей обробки деталей (для одного верстата це n! способів обробки n деталей).

Доведено, що деталі на другому верстаті повинні оброблятися в тому ж порядку, що і на першому. Це скорочує число можливих варіантів обробки з (n!)² до n! Ідея полягає в тому, щоб максимально скоротити простої другого верстата при повному винятку переривання в роботі першого.

Алгоритм Джонсона для розв’язання цієї задачі полягає в наступному. Нехай a_i – час обробки i-ї деталі на I-му верстаті,

b_i – час обробки i-ї деталі на II-му верстаті,

i=1,2,…,n.

Знаходимо min(a₁, a₂,…, a_n, b₁, b₂,…, b_n). Якщо цей мінімум дорівнює a_j (знаходиться серед a_i), то j-та деталь обробляється першою. Якщо цей мінімум дорівнює b_k (знаходиться серед b_i), то k-та деталь обробляється останньою. Далі процедура повторюється.

Приклад. Маємо 5 деталей, задано час їх обробки на I-му та II-му верстатах.

I	1	2	3	4	5
ai (I верстат)	7	1	6	9	3
bi (II верстат)	4	3	5	7	2
Послідовність обробки	4	1	3	2	5

З часових осей бачимо, що час простою дорівнює 8 одиниць часу.

Задача розкладу для n деталей і трьох верстатів у загальному випадку не розв’язана. Але у випадку, коли min a_i ≥ max b_i або min c_i ≥ min b_i , де a_i, b_i, c_i – це час обробки i-ї деталі відповідно на I, II і III верстатах, оптимальний порядок обробки деталей визначається за сумами a_i+b_i, і b_i+c_i, що зводиться до задачі про два верстати.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте постановку задачі про розклад.

2. Опишіть алгоритм Джонсона для розв’язання задачі про розклад.

3. Для якого випадку застосовується цей алгоритм?

Задачі для самостійної роботи

1. Маємо 2 верстати і 10 деталей. Скласти розклад обробки.

   I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   ai (I)	20	13	17	8	11	25	10	11	7	6
   bi (II)	17	6	21	14	4	18	19	21	16	15

2. Маємо три верстати і 5 деталей. Скласти розклад обробки.

I	1	2	3	4	5
ai (I)	8	12	9	8	7
bi (II)	7	6	4	6	4
ci (III)	5	13	8	9	4