5.1.2.Порядковые шкалы

В тех случаях, когда наблюдаемый (измеряемый) признак состояния имеет природу, позволяющую не только отождествить состояния с одним из классов эквивалентности, но и дающую возможность в каком-то отношении сравнивать разные классы, для измерений можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная. Если же не воспользоваться этим, то мы откажемся от части полезной информации. Однако усиление измерительной шкалы зависит от того, какие именно отношения между классами существуют в действительности. Это и явилось причиной появления измерительных шкал разной силы.

Следующей по силе за номинальной шкалой является порядковая шкала (используется также название ранговая шкала). Этот класс шкал появляется, если кроме аксиом тождества 1°-3° классы удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности;

4°. Если А >В, то В<А.

5°. Если А >В и В>С, то А >С.

Обозначив такие классы символами и установив между этими символами те же отношения порядка, мы получим шкалу простого порядка. Примерами применения такой шкалы являются нумерация очередности, воинские звания, призовые места в конкурсе.

Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить по предпочтению: некоторые пары считаются равными. В таком случае аксиомы 4° и 5° видоизменяются.

4'.Либо А <В, либо А >В.

5'. Если А>В и В>С, то А >С.

Шкала, соответствующая аксиомам 4' и 5', называется шкалой слабого порядка. Примером такой шкалы служит упорядочение по степени родства с конкретным лицом (мать = отец>сын = дочь, дядя = тетя< брат = сестра и т.п.).

Иная ситуация возникает, когда имеются пары классов, несравнимые между собой, т.е. ни А  В, ни В  А (это отличается от условия слабого порядка, когда одновременно А  В и В  А, т.е. А = В). В таком случае говорят о шкале частичного порядка. Шкалы частичного порядка часто возникают в социологических исследованиях субъективных предпочтений. Например, при изучении покупательского спроса субъект часто не в состоянии оценить, какой именно из двух разнородных товаров ему больше нравится (например, клетчатые носки или фруктовые консервы, велосипед или магнитофон и т.д.); затрудняется человек и упорядочить по предпочтению любимые занятия (чтение литературы, плавание, вкусная еда, слушание музыки..,).

Характерной особенностью порядковых (в строгом смысле) шкал является то, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они изображены цифрами, нельзя рассматривать как числа, над ними нельзя выполнять действия, которые приводят к получению разных результатов при преобразовании шкалы, не нарушающем порядка.

Однако допустима операция, позволяющая установить, какое из двух наблюдений, x_i или х_j, предпочтительнее, хотя формально эту операцию мы можем выразить через разность x_i -х_j.

Введем индикатор положительных чисел - функцию C(t)={1:t  0; 0 : t < 0 . Тогда если х_i х_j и мы ввели цифровую шкалу порядка, то С(х_i -х_j)=1, a C(х_j-х_i)=0, что и позволяет установить предпочтительность х_i - перед х_j. Число , где n - число сравниваемых объектов (1  R_i  п), называется рангом i-го объекта. (Отсюда происходит другое название порядковых шкал - ранговые.) Если имеет место слабый порядок, то часть наблюдений совпадает (в статистике такая группа наблюдений называется связкой) и все члены связки получают одинаковый (старший для них) ранг. Когда это неудобно, прибегают либо к присвоению ранга, среднего для данной связки (мидранга), либо присваивают ранги от младшего до старшего случайным образом.

Итак, при измерениях в порядковых (в строгом смысле) шкалах обработка данных должна основываться только на допустимых для этих шкал операциях - вычислении _ij и R_i. С этими числами можно "работать" дальше уже произвольным образом: кроме нахождения частот и мод (как и для порядковой шкалы), появляется возможность определить выборочную медиану (т.е. наблюдение с рангом R_i, ближайшим к числу n/2); можно разбить всю выборку на части в любой пропорции, находя выборочные квантили любого уровня р, 0<р<1 (т.е. наблюдения с рангом R_i, ближайшим к величине n_р); можно определить коэффициенты ранговой корреляции между двумя сериями порядковых наблюдений; строить с помощью полученных величин другие статистические процедуры.

Подчеркнем еще раз, что даже в тех случаях, когда состояния, которые допускают только порядковые сравнения, в эксперименте измеряются через величины, связанные с ними косвенно, но фиксируемые в числовых шкалах, эти измерения все равно остаются измерениями в порядковой шкале.

В качестве примера рассматривается испытание умственных способностей, при котором измеряется время, затрачиваемое испытуемым на решение тестовой задачи. В таких экспериментах время хотя и измеряется в числовой шкале, но как мера интеллекта принадлежит порядковой шкале.

Выше мы не без умысла к названию порядковой шкалы присоединяли слова "в строгом смысле". Суть состоит в том, что порядковые в строгом смысле шкалы определяются только для заданного набора сравниваемых объектов, у этих шкал нет общепринятого, абсолютного стандарта. Поэтому при определенных условиях правомерно выражение "первый в мире, второй в Европе" - просто чемпион мира занял второе место на всех европейских соревнованиях.