3.6.1.Особенности цифрового представления непрерывных сигналов. Решетчатые функции.

Входные и выходные сигналы непрерывных систем есть функции непрерывного времени t. Если переменная t принимает непрерывную последовательность значений, то сигнал, или функция, называется непрерывным. Сигнал, или функция, называется дискретным, если переменная t принимает только конечное множество значений t_k, где k = 0; ±1; ±2;....

Квантованием называется процедура преобразования данных из непрерывной формы в цифровую. В цифровых системах используются различные виды квантования: квантование по уровню (релейные системы), квантование по времени (импульсные системы), квантование по уровню и по времени (цифровые системы). Сигналы, дискретные только во временной области, представляют собой последовательности импульсов, появляющихся в определенные моменты времени. Обычно дискретный сигнал получается в результате дискретизации - периодического прерывания непрерывного сигнала с постоянным тактом. При дискретизации промежуток времени между передними фронтами соседних импульсов называется периодом, или тактом дискретизации.

Существуют различные способы модуляции (формирования) отдельных импульсов, входящих в последовательность. Они отличаются допустимыми значениями амплитуд, шириной импульсов и модулирующей частотой. В цифровых системах наибольшее распространение получила амплитудно-импульсная модуляция, представляющая собой такое преобразование непрерывного сигнала в последовательность импульсов, при котором высота импульса пропорциональна амплитуде текущего значения непрерывного сигнала, ширина постоянна, а интервалы между импульсами одинаковы и равны такту дискретизации. Устройство, преобразующее непрерывный сигнал в дискретный, называется дискретизатором.

рис. 3.1

На рис. 3.1. представлен дискретизатор как эквивалентный амплитудно-импульсный модулятор. Входной сигнал f(t) умножается на несущий сигнал p(t), который является последовательностью периодических сигналов, например импульсов единичного веса.

рис. 3.2

Для входного сигнала f(t), который является функцией непрерывно изменяющегося параметра t, сигнал на выходе дискретизатора f*(t) представляет собой последовательность импульсов конечной длительности, амплитуда которых промодулирована входным сигналом. Длительность импульсов равна h, период квантования - Т₀ и соответствующая ему частота квантования F₀=1/Т₀ (Гц). На рис. 3.2 представлены типичные формы входного (а), несущего (б) и выходного (в) сигналов. Период квантования может быть непостоянным или изменяться циклически. Во всех случаях использование модели амплитудно-импульсного модулятора для представления дискретизатора очень удобно, так как при различных законах дискретизации меняется только несущий сигнал p(t).

Кроме того, на практике применяется широтно-импульсная модуляция. В этом случае выходной сигнал представляет собой последовательность импульсов, длительность которых является функцией амплитуды входного сигнала в момент выборки. На рис. 3.3 показаны входной (а) и выходной (б) сигналы широтно-импульсного модулятора.

рис. 3.3

Рассмотрим амплитудно-импульсную модуляцию при помощи дискретизатора (рис. 3.4) с постоянным периодом и конечным временем выборки, представленного в виде ключа, замыкающегося и размыкающегося мгновенно.

рис. 3.4

Если длительность импульса h (h>0) существенно меньше такта дискретизации Т₀, а за ключом стоит линейное звено с постоянной времени Т>h, то последовательность импульсов f*(t) на выходе квантователя можно приближенно рассматривать как дискретный сигнал f_т(kT₀), показанный на рис. 3.5 (а - непрерывный, б - дискретный сигналы).

В этом случае ключ действует как идеальный дискретизатор, и величины f_т(kT₀) равны мгновенным значениям амплитуд.

Модулированная по амплитуде дискретная функция f*(t), получаемая дискретизатцией непрерывного сигнала f(t) с постоянным тактом Т₀, математически описывается выражениями:

	при
	при (k=0, 1, 2,.	(25)

рис. 3.5

Таким образом, идеальный дискретизатор может быть представлен в виде так называемой решетчатой функции времени f_т(kT₀) или в сокращенной записи - f(k), значения которой определены в дискретные моменты времени t=kT₀, где k - целое число, T₀ - период квантования. В этом случае решетчатая функция представляет собой модулированную последовательность δ-функций. Идеальную δ-функцию можно записать в виде:

	0 при t≠0
	∞ при t=0	(26)

Выходная величина простейшего импульсного элемента, или идеального дискретизатора, представляющая собой модулированную последовательность δ-функций, определяется по формуле:

(27)

где δ_т(t) - немодулированная последовательность импульсов единичной площади или δ-функций, равноотстоящих по времени (рис. 3.6):

рис. 3.6

С учетом того, что последовательность идеальных импульсов определена только в моменты времени f=kT₀ (k=0, 1, 2...), функция f_т(t) описывается следующим выражением:

Решетчатые функции не обязательно формируются из некоторой исходной непрерывной функции. Любая числовая последовательность некоторой величины, определенной в дискретные моменты времени, может трактоваться как решетчатая функция. Обратная задача - формирование непрерывной функции из решетчатой - не может быть решена однозначно, так как функции, заданной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретными, называются огибающими решетчатой функции.