5.1.Измерительные шкалы

Измерение - это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число, номер или символ. Такое соответствие обеспечивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте, количество же информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов. Нужная нам информация получается из результатов измерения с помощью их преобразований, или с помощью обработки.

Совершенно ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Однако степень этого соответствия зависит не только от организации измерений (т.е. от экспериментатора), но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия в свою очередь определяет допустимые (и недопустимые) способы обработки данных.

Будем рассматривать только такие объекты, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям - одинаковые обозначения. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам тождества:

1°. Либо А=В, либо АВ.

2°. Если А=В, то В=А.

3°. Если А=В и В=С, то А=С.

Здесь символ = обозначает отношение эквивалентности; в том случае, когда А и В - числа, он означает их равенство.

5.1.1.Шкалы наименования

Предположим, что число различимых состояний (математический термин - число классов эквивалентности) конечно. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Теперь измерение будет состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется измерением в шкале наименований (иногда эту шкалу называют также номинальной или классификационной); указанное множество символов и образует шкалу.

Особенности шкалы наименований рассмотрим на примерах. Естественнее всего использовать шкалу наименований в тех случаях, когда классифицируются дискретные по своей природе явления (например, различные объекты). Для обозначения классов могут быть использованы как слова естественного языка (например, географические названия, собственные имена людей и т.д.), произвольные символы (гербы и флаги государств, эмблемы родов войск, всевозможные значки и т.д.), номера (регистрационные номера автомобилей, официальных документов, номера на майках спортсменов), так и их различные комбинации (например, почтовые адреса, экслибрисы личных библиотек, печати и пр.) Все эти обозначения эквивалентны простой нумерации (в некоторых странах человек при рождении получает номер, под которым он фигурирует в государственных информационных системах всю жизнь), но на практике часто предпочитают другие обозначения (вообразите, что вместо имен и фамилий ваших друзей и знакомых вы должны будете использовать номера).

Поскольку присваиваемое классу объектов обозначение в принципе произвольно (хотя после присвоения и однозначно), эту свободу в выборе можно использовать для удобства. Так, при большом и/или нефиксированном числе классов их конкретизация упрощается и облегчается, если обозначения вводятся иерархически. Примером могут служить почтовые адреса: страна - территориальная административная единица (республика, штат, кантон, графство, область) - населенный пункт - улица - дом - квартира - адресат. Другой пример - автомобильные номера: в их символике есть обозначение как территории, так и принадлежности машины (государственная или личная).

Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда классифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Задача сводится к предыдущей, если все множество разбить на конечное число подмножеств, искусственно образуя тем самым классы эквивалентности. Теперь принадлежность состояния к какому-либо классу снова можно регистрировать в шкале наименований. Однако условность введенных классов (не их шкальных обозначений, а самих классов) рано или поздно проявится на практике. Например, возникают трудности точного перевода с одного языка на другой при описании цветовых оттенков: в английском языке голубой, лазоревый и синий цвета не различаются; не исключено, что англичане иначе видят мир (например, в одном английском толковом словаре слово “синий” объясняется как "цвет чистого неба, древесного дыма, снятого молока, свинца", а в другом - как "цвет неба или моря, а также вещей намного бледнее или темнее, как дым, удаленные холмы, лунный свет, синяк").

Перейдем теперь к вопросу о допустимых операциях над данными, выраженными в номинальной шкале. Подчеркнем еще раз, что обозначения классов - это только символы, даже если для этого использованы номера. Номера лишь внешне выглядят как числа, но на самом деле числами не являются. Если у одного спортсмена на спине номер 4, а другого - 8, то никаких других выводов, кроме того, что это разные участники соревнований, делать нельзя: так, нельзя сказать, что второй "в два раза лучше" или что у одного из них форма новее. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства или неравенства: только эти отношения определены между элементами номинальной шкалы.

Поэтому при обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять только операцию проверки их совпадения или несовпадения. Изобразим эту операцию с помощью символа Кронекера: _ij = 1: x_i = x_j; 0: x_i  x_j, где x_i и x_j - записи разных измерений.

С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количества совпадений (например, число наблюдений k-го класса равно где n - общее число наблюдений), вычислять относительные частоты классов (например, частота k-гo класса есть p_k = n_k/n), сравнивать эти частоты между собой, выполнять различные статистические процедуры, строго следя, однако, чтобы в этих процедурах с исходными данными не выполнялось ничего, кроме операции проверки их на совпадение (например, можно использовать ² -тест, другие тесты на относительных частотах, коэффициент согласия и т.д.).

Измерение - операция, ставящая наблюдаемому явлению в соответствие один из элементов подходящей измерительной шкалы. Измерительная шкала может иметь разную силу в зависимости от того, являются ли ее элементы символами, номерами или числами. Измерительную шкалу следует выбирать максимально сильной, однако сила шкалы должна соответствовать природе наблюдаемого явления и не быть завышенной.