4.6.Обобщенная модель агрегата

Серьезную помощь при разработке моделей агрегатов-операторов может оказать владение типовыми математическими схемами, наиболее широко используемыми в арсенале моделирования и многократно проверенными опытом. Среди них наиболее простой является схема конечного автомата. Конечный автомат характеризуется конечными множествами состояний Z, входных сигналов X, выходных сигналов Y. В каждый момент времени в него поступает входной сигнал x(t), под действием которого автомат переходит в новое состояние в соответствии с функцией переходов z(t)=f1[z(t-1), x(t)] и выдает выходной сигнал, определяемый функцией выходов y(t)=f2[z(t-1), х(t)]. Автомат можно задать также таблицами переходов и выходов или графической схемой переходов и выходов.

Математические модели широкого класса детерминированных объектов (т.е. без учета случайных факторов), функционирующих в дискретном времени, приводятся к различным типам конечных автоматов.

Детерминированные объекты, функционирующие в непрерывном времени, обычно описывают дифференциальными уравнениями.

Стохастические объекты, функционирующие в дискретном времени, можно представить вероятностными автоматами. Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а лишь распределение вероятностей на множестве состояний, т.е. автомат со случайными переходами, а функция выходов - распределение вероятностей на множестве выходных сигналов, т.е. автомат со случайными выходами. Функции этих автоматов изучаются с помощью теории цепей Маркова.

Математическими моделями стохастических объектов с непрерывным временем служат системы массового обслуживания или представители марковских случайных процессов.

Остановимся на некоторых общих свойствах динамических систем, используемых в качестве математических моделей элементов сложных систем:

1. Элемент функционирует во времени; в каждый момент времени t он находится в одном из возможных состояний z.

2. С течением времени под действием внутренних и внешних причин элемент переходит из одного состояния в другое.

3. В процессе функционирования элемент взаимодействует с другими элементами системы и объектами внешней среды.

Наличие общих свойств моделей элементов сложных систем позволяет дать им общее математическое описание, полезное для решения ряда теоретических и практических вопросов системного анализа, называемое агрегатом.

В каждый момент времени t=(0, T) агрегат находится в одном из возможных состояний, являющихся элементами некоторого множества Z, т.е. состояние z изменяется как функция времени z(t), причем, состояние агрегата z(t) зависит как от предыдущих состояний, так и от внешних входных и управляющих воздействий.

С точки зрения моделирования агрегат выступает как универсальный преобразователь информации - он воспринимает входные и управляющие сигналы и выдает выходные сигналы.

Совокупность входных, управляющих и выходных сигналов, расположенных в порядке их поступления или выдачи, называют входными, управляющими или выходными сообщениями.

У агрегата выделяют так называемые особые состояния, под которыми понимают его состояния в моменты получения входного, управляющего или выдачи выходного сигнала.

рис. 4.5

Математическая модель агрегата приведена на рис 4.5. Состояния агрегата z(t) для произвольного момента времени t>t₀ определяется по предыдущим состояниям оператором Н (в общем случае имеющим случайный характер): z(t)=H[z(t₀), t], т.е. данному z(t₀) ставится в соответствие в общем случае не одно конкретное z(t), а множество значений z(t) с некоторым законом распределения и статистическими характеристиками, зависящими от вида оператора Н.

Конкретное значение z(t) определяется как реализация в соответствии с этим законом распределения.

Выходной сигнал y(t) является элементом некоторого множества Y и определяется по состояниям агрегата z(t) при помощи оператора G.

Оператор H называется оператором переходов; G - оператором выходов.

Агрегат представляет собой математическую схему общего вида, частными случаями которой являются функции алгебры логики, конечные и вероятностные автоматы, и т.п. С точки зрения моделирования он выступает как достаточно универсальный преобразователь информации - воспринимает входные, управляющие и выдает выходные сигналы, обрабатывает их.