3.6.Цифровое представление непрерывных сигналов

Вторым важным аспектом теории сигналов является проблема цифрового представления непрерывных сигналов. Вопрос формулируется так: существуют ли условия (и если да, то какие), при которых любой непрерывной функции x(t) можно поставить во взаимно однозначное соответствие дискретное множество чисел , k=…-2, -1, 0, 1, 2, … Положительный ответ на этот вопрос имеет как теоретическое, так и практическое значение, т.к. рассмотрение случайных величин вместо реализаций непрерывных случайных процессов существенно упрощает решение многих задач, вся теория становится проще и может быть продвинута дальше, а соответствие можно использовать и в технических устройствах, работающих с непрерывными сигналами (например, технически проще хранить или передавать вместо .

Ограничимся более конкретной формулировкой поставленной задачи и рассмотрим условия выполнения равенства (18)

Функции называются координатными функциями, они не должны зависеть от x(t), более того, они заранее известны. Ряд в правой части равенства называется разложением x(t) по координатным функциям. Числовые коэффициенты содержат всю информацию об x(t), необходимую для восстановления этой функции по формуле (6); следовательно, являются функционалами от функции x(t).

Функционал - это отображение множества функций на множество чисел.

Известны разложения по системе ортогональных и нормированных функций. Это означает, что функции удовлетворяют условиям

(19)

Умножим обе части равенства (6) на и проинтегрируем (опуская тонкости, будем считать, что все операции обоснованы):

(20)

Такое представление называют рядом Фурье, а C_k(x) — коэффициентами Фурье. Условия сходимости ряда Фурье к функции x(t) подробно исследованы и, кратко говоря, сводятся к тому, чтобы были оправданы все необходимые математические операции, а коэффициенты Фурье убывали достаточно быстро (точнее, ). Это не очень жесткое ограничение, но все же оно связывает свойства системы координатных функций и самих функций x(t). Например, если — гармонические функции кратных частот, то x(t) должна быть периодической функцией с периодом Т, равным периоду самой низкочастотной гармоники:

(21)

(22)

Значительный интерес привлекли разложения реализаций случайного процесса с ограниченной полосой частот. Для таких сигналов В.А. Котельников доказал следующую теорему (теорему отсчетов):

любая функция со спектром, находящимся в интервале [0, F] полностью определяется последовательностью ее значений в точках, отстоящих друг от друга на 1/(2F) единиц времени.

Пусть x(t) имеет спектр ; причем отлично от нуля только в интервале

В этом интервале применимо разложение:

а коэффициенты Фурье этого разложения таковы:

Следовательно,

(23)

и это соотношение доказывает теорему отсчетов в силу однозначной связи X(f) с x(t).

Можно показать, что восстанавливать x(t) для значений t между точками отсчетов следует согласно формуле:

(24)

Итак, мы получили разложение реализации, координатными функциями которого являются функции вида , сдвинутые друг относительно друга на интервалы времени 1/(2F), а коэффициентами - значения ("отсчеты") самой реализации, взятые в моменты k/(2F).

Иногда говорят, что эта теорема является теоретическим обоснованием возможности на практике восстанавливать x(t) по отсчетам . Однако дело в том, что координатные функции имеют неограниченную длительность и, следовательно, физически нереализуемы. Кроме того, ряд (18) имеет неограниченное число членов. Все это снова возвращает нас к проблеме точности фиксации сигналов, пока не получившей полного освещения.

Следовательно, из многочисленных результатов теории сигналов мы выделяем два, как существенно поясняющие природу непрерывных сигналов. Первый состоит в том, что сигналы обнаруживают своеобразную "упругость" занимаемой ими площади на плоскости "частота—время". Это явление называется частотно-временной неопределенностью сигналов. Второй результат заключается в том, что определенный класс непрерывных сигналов допускает взаимно однозначное соответствие между любой реализацией из этого класса и дискретным набором отсчетов данной реализации.