Дискретные (ранжированные) аргументы

Дискретные аргументы - особый класс переменных, который в пакете MathCAD зачастую заменяет управляющие структуры, называемые циклами (однако полноценной такая замена не является). Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного.

Определение дискретной переменной имеет вид i := 0..5, что означает задание ряда значений i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Дискретные аргументы значительно расширяют возможности MathCAD, позволяя формировать векторы и матрицы.

Дискретная переменная определяет ряд значений, для которых вычисляется вектор или матрица, и этот ряд значений можно вывести в виде графика или таблицы.

Для задания такой переменной

1)вводим имя и знак присвоения;

2)указываем начальное значение;

4) вставим символ ; или на панели .. и конечное значение (N)

Пример i:=0..60 t_i:=i*/20 Y1(t_i):= sin(t_i) T_i:=i*/20 Y2_i:=cos(T_i)

Y1(t _i) ,Y2 _I - t,T _i

Задание вектора с помощью дискретной переменной I

N:=20 F(x):=sin( ) i :=0..N h_i:=- +/10*i F(h)=

Пример 1.

Задать вектор V, изменяющийся от -3 до 2 с шагом 0.25

N:=(2-(-3))/0.25

i :=0..N V_i:=-3+0.25*i

Пример 2. Датчик снимает значения каждые 2 с. Задать переменную отсчета времени датчиком, начиная от 100 до 400. В MathCAD задание такой переменной будет выглядеть:

N:=(400-100))/2

i :=0..N t_i:=100+2*i

t=

Пример 3. Пусть рабочая зона станка с центром координат посередине имеет размер 500*500. Датчик записывает 100 значений координат, пока инструмент перемещается с одного края стола на другой.

Другими словами, необходимо записать в дискретную переменную для нумерации 100 значений вектора X, значения в котором изменяются от -250 до +250. Для координаты X следует записать так:

N:=100 h:=(250-(-250))/N h=5

i :=0..N X_i:=250+h*i

X^T=

Пример 4. Данные о производительности труда на предприятии собраны, начиная с 1995 по 2005 годы, через каждые 3 года :

h:=3 N:=round((2005-1995)/h )

Функция round(x,n) округляет число x до n десятичных знаков. Если n не указано, округляет х до целого.

i :=0..N god_i:=1995+h*i

god^T=

С помощью переменной типа вектор (матрица) можно задавать как целые, так и дробные значения переменной, но обязательно равноотстоящие друг от друга.

Пример 5. Угол падения некоего предмета изменяли 20 раз от /4 до 3/4

N:=20 h:=( 3/4 - /4)/N

i :=0..N alfa_i:= /4+h*i

Набрав alfa ^T= после задания вектора можно проверить – соответствует ли требуемому диапазон значений, хранящихся в ячейке переменной.

Встроенные функции для определения параметров матриц

rows(M) - строк

cols(M)- столбцов

last(M) - индекс последнего элемента

max(M), min(M) - макс-мин значения массива (вектора).

Образование новых матриц из существующих

augment(A,B) – объединяет матрицы А, В с одинаковым числом строк «бок о бок».

stack(A,B) – объединяет матрицы А,В с одинаковым числом столбцов друг над другом.

submatrix(A,irows,jrows,icols,jcols) – создает матрицу, вырезанную из матрицы А от ряда irows до ряда jrows и от столбца icols до столбца jcols.

Сортировка векторов и матриц

sort(v) – сортировка элементов вектора в порядке возрастания

reverse(v) – перестановка элементов вектора в обратном порядке

csort(v) – перестановка строк матрицы М в порядке возрастания элементов i-го столбца

rsort(M,i) - перестановка столбцов матрицы М в порядке возрастания элементов i-й строки

Решение некоторых задач алгебры матриц

Вспомним основные определения алгебры матриц.

Если m*n выражений расставлено в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов, то говорят о матрице размера m*n.

Выражения aij называют элементами матрицы.

Элементы aii, стоящие в таблице на линии, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол квадранта n*n, образуют главную диагональ матрицы.

Матрицу размером m*n (mn), называют прямоугольной, а в случае m=n – квадратной матрицей порядка n. В частности, матрица 1*n – вектор-строка, а матрица размера n*1 – вектор-столбец.

Квадратная матрица A={aij} размером n*n называется:

• нулевой, если все ее элементы равны нулю A={aij=0};

• верхней треугольной, если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю: A={aij=0 для всех i>j};

• нижней треугольной, если все ее элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю: A={aij=0 для всех i<j};

• диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю: A={aij=0 для всех ij};

• единичной, если элементы главной диагонали равны 1, а остальные – нулю A={aij=0 для всех ij и aij=1 для всех i=j}.

С квадратной матрицей связано понятие определителя, или детерминанта. Определителем матрицы А является число detA, или , вычисляемое по правилу: detA = где сумма распределена на всевозможные перестановки (i1,i2,…in) элементов 1,2,…n и содержит n! слагаемых, причем =0, если перестановка четная и =1 – если нечетная. Квадратная матрица является невырожденной, когда ее определитель отличен от 0. В противном случае она будет вырожденной, или сингулярной. В МКАДе определитель рассчитывается нажатием соответствующей кнопки панели инструментов матрицы и указанием имени матрицы:А=

Приведем определения некоторых специальных матриц. Квадратная матрица называется:

Симметрической, если Ат=А;

Кососимметрической, если Ат=-А;

Ортогональной, если А=detA0 и Ат=А-1;

Идемпотентной, если А²=А; А²=А*А;

Инволютивной, если А²=Е, где Е – единичная матрица.

Возведение в степень возможно только для квадратных матриц.

Пример. В результате эксперимента для ряда кругов разной зернистости (dz=0,1 0,16 0,25 0,4 0,63) получили ряд данных о шероховатости. Построить график зависимости.

1 способ – созданием матрицы из 5 строк и 2 столбцов. Имя матрицы М, вызываем команду создать матрицу и заполняем шаблон значениями:

1столбец -0,1 0,16 0,25 0,4 0,63 . 2 столбец - 0,048 0,043 0,035 0,025 0,018.

М^<0> - 1столбец матрицы ; М^<1> - 2 столбец матрицы (команда на панели матрицы)

Строим график М^<1> =f( М^<0>).

2 способ – созданием дискретной переменной и двух векторов.

i:=0..4 dz[i:= 0.1, 0.16, 0.25, 0.4, 0.63

Ra[i:= 0.048, 0.043, 0.035, 0.025, 0.018

Значения элементов вектора вводятся через запятую и выстраиваются в столбец.

Строим график Ra(dz) от dz.

3 способ – созданием двух векторов.

X := , далее вызываем шаблон, заполняем одну строку и 5 столбцов. Чтобы получить вектор, выделяем все, что в скобках и транспонируем: (0,1 0,16 0,25 0,4 0,63)^Т

Y:= (0,048 0,043 0,035 0,025 0,018)^Т

Строим график Y(X) от X.

Матричное уравнение – это уравнение типа А*Х=В или Х*А=В, где Х – неизвестная матрица. Если умножить матричное уравнение на матрицу, обратную А, то оно примет вид: А^-1*А*Х=А^-1*В или Х*А*А^-1=В*А^-1. Поскольку Е*Х = Х*Е = Х, то неизвестную матрицу Х можно найти так: Х = А^-1*В или Х=В*А^-1. Понятно, что матричное уравнение имеет единственное решение, если А и В – квадратные матрицы n-го порядка и определитель матрицы не равен 0.