1.9.3.Математическое ожидание и коэффициент корреляции

Математическое ожидание произвольной однозначной непрерывной функции от двух случайных величин и определяется фор­мулой

. (1.9.10)

Для случая, когда однозначная непрерывная функция

,

определим коэффициент ковариации двух случайных величин и в виде

. (1.9.11)

Заметим, что – дисперсия случайной величины , определен­ная в (1.5.13).

Для коэффициента ковариации справедливо неравенство

. (1.9.12)

Из неравенства(1.9.12) следует, что нормированная ве­личина

, (1.9.13)

называемая коэффициентом корреляции, заключена между -1 и +1.

Определение. Слу­чайные величины и , коэффициент корреляции которых равен ну­лю,

называются некоррелированными.

1.9.4.Соотношение между статистической независимостью и некоррелированностью

Если и – статистически независимые случайные величины, то из формул (1.9.8) и (1.9.10) следует, что

(1.9.14)

Тогда из формулы (1.9.11) следует, что коэффициент ковариации независимых случайных величин и

, (1.9.15)

а значит и коэффициент корреляции равен нулю.

Таким образом, статистически независи­мые случайные величины некоррелированны.

Обратное утверждение, во­обще говоря, неверно, так как некоррелированные случайные величины не обязательно независимы.

Однако в практически важных случаях, где встречаются две и более нормально распределенные случайные величины, справедлив теоретический результат: некоррелированность означает и статистическую независимость случайных величин.

В целом, коэффициенты ковариации или корреляции отражают меру линейной статистической связи двух случайных величин.

Волгоградский государственный университет Институт МиИТ Кафедра ФИиОУ

Доцент Яновский А.Г.