1.7.2.Мультипликативное свойство характеристических функций
Теорема. Случайная функция
,
(1.7.12)
независимых
случайных величин
имеет характеристическую
функцию
.
(1.7.13)
Доказательство:
.
1.7.3.Вычисление моментов по производным характеристической функции
Рассмотрим разложение
,
.
(1.7.14)
Если
имеются конечные моменты
,
то
(1.7.15)
и характеристическая функция допускает разложение
,
(1.7.16)
Тогда
,
(1.7.17)
что позволяет вычислять моменты по производным характеристической функции.
1.8.Центральная предельная теорема (central limit theorem)
Теорема. Пусть
(1.8.1)
последовательность
сумм независимых случайных величин
таких, что
,
(1.8.2)
и
равномерно по
.
(1.8.3)
Тогда при выполнении условия Ляпунова
(1.8.4)
имеем
.
(1.8.5)
1.9.Двумерные случайные величины
1.9.1.Совместные функции плотности и распределения вероятности
Рассмотрим
два выборочных
значения
и
случайных величин
и
,
имеющих функции распределения
и
.
Определим
совместную
функция распределению
как
вероятность, приписанную подмножеству
точек выборочного пространства,
одновременно удовлетворяющих неравенствам
и
:
,
(1.9.1)
Причём
.
(1.9.2)
Полагая
и
непрерывными,
введём совместную
плотность вероятности
как
.
(1.9.3)
Следовательно,
,
(1.9.4)
,
(1.9.5)
.
(1.9.6)
Плотности вероятности случайных величин и выражаются через совместную плотность
.
(1.9.7)
1.9.2.Статистическая независимость случайных величин
Если для двух случайных величин и
,
(1.9.8)
то случайные величины и называются статистически независимыми.
Для статистически независимых случайных величин и
.
(1.9.9)