1 Теоретические основы решения транспортной задачи линейного программирования

1.1 Математическая постановка задачи

Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов.

На автомобильном транспорте наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

- прикрепление потребителей ресурса к производителям;

- привязка пунктов отправления к пунктам назначения;

- взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлении;

- отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;

- оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.

Важным частным случаем задачи линейного программирования является транспортная задача.

Постановка задачи: Пусть имеется m поставщиков и n потребителей. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а так же затраты на перевозку груза для каждой пары «поставщик – потребитель» заданы таблицей.

поставщики	потребители	В1	В2	.	Вj	.	Bn	Мощность поставщиков
A1		С11	С12		С1j		С1n	a1
A2		С21	С22		С2j		С2n	a2
.		.	.		.		.
Ai		Сij	Сij		Сij		Сin	ai
.		.	.		.		.
Am		Cm1	Cm2		Cmj		Cmn	am
Спрос потребителей		b1	b2		bj		bn

Найти объемы перевозок каждой пары «поставщик – потребитель» так, чтобы:

мощности всех поставщиков были реализованы; спросы всех потребителей были удовлетворены; суммарные затраты на перевозку были бы максимальны.

Особенности математической модели транспортной задачи:

-система ограничений есть система уравнений, то есть задача ЛП в

каноническом виде;

-коэффициенты при неизвестных системы ограничений равны единицы или нулю;

-каждая переменная входит в систему ограничений два раза: один раз в

систему ограничений поставок, второй раз – в систему ограничений спроса.

2 Решение транспортной задачи без применения эвм

2.1 Математическая постановка методом северо-западного угла

Ai=( A1, A2, A3)=(250, 200, 200)

Bj=( B1, B2, B3, B4, B5)=(120, 130, 100, 160, 110)

D=

Математическая постановка задачи приведена в таблице 2.1

В самую верхнюю левую клетку таблицы заносится максимально допустимая перевозка, при этом либо вывозится весь груз со станции А1 и все остальные клетки первой строки вычеркиваются, либо потребности первого потребителя B1 полностью удовлетворяются, тогда все клетки первого столбца вычеркиваются. После этого самой верхней левой клеткой становится клетка A1B2 или B2A1. Алгоритм продолжается до заполнения таблицы.

Таблица 2.1

Математическая постановка задачи

	B1	B2	B3	B4	B5	Запросы
A1	27	36	35	31	29	250
A2	22	23	26	32	35	200
A3	35	42	38	32	39	200
Потребности	120	130	100	160	110

Проверил, является ли данная задача закрытой. Для этого считаю сумму запасов и сумму потребностей и сравним их:

250+200+200=120+130+100+160+110

Задача открытая, потому что сумма запасов не совпала с суммой потребностей.

Для того что бы сделать задачу закрытой смотрю на запасы - их больше, поэтому добавляю нулевого потребителя, с потребностью 30. Ищу не занятую клетку и ставим вместо прочерка ноль, показано в таблице 2.1.1.

Таблица 2.1.1.

	B1	B2	B3	B4	B5	В6	Запросы
A1	27	36	35	31	29	0	250
A2	22	23	26	32	35	0	200
A3	35	42	38	32	39	0	200
Потребности	120	130	100	160	110	30

Теперь задача закрытая.

На этом, математическая постановка задачи завершена.