Натуральные числа

§1 Натуральные числа. Аксиомы Пеано и их независимость. Принцип полной мат.Нидукции

Числовая с-ма – числовое мн-во, на кот.заданы операции и отношения.

Сначало определяется аксиоматически с-ма нат.чисел. На ее основе строится с-ма целых чисел, а затем с-ма рац.чисел.

Мн-вом нат.чисел – наз.непустое мн-во N для эл-тов которых лпределено отношение «непосредственно следует за»(число,кот. непосредственно следует за a обозн. ), т.е определено отношение, кот.удовл.след.аксиомам:

А1: нат.число единицы, кот.непосред. не следует ни за каким нат.числом.

A2: .Для нат.числа единств. нат.число ,кот.непосредственно следует за ним.

A3: . Каждое нат.число непоср. Следует не более чем за одним нат.числом.

A4:(аксиома индукции)

Мн-во М содержит все нат.числа.

Аксиомы А1-А4 наз. Аксиомами Пеано.

Замеч.Из акс.А4 следует законность док-в методом мат.индукции. При этом акс.инд.примен. в след.виде:

Теор.(принцип полной мат.инд) Утверждение T(n), n N верно , если вып-ся след. условия:

1)Т(1)-истина; 2) : если T(n)-истина, то T(n’)-истина

Д-во:

Замеч.Док-во на основ.принципа пол.мат.инд. наз. док-вом методом полной мат.инд. При этом говорят кратко докажем T(n) индукции по n. При этом: база инд: Т(1)-истина?

Предп.инд: Т(n); мат.инд: T(n) T(n’)

Пример.Д-ть мнтодом полной мат.инд., что сумма n первых нечетных нат.ч.= .

Решение: T(n): 1+3+5+..+(2n-1)=

1. T(1): 1= – истина; 2) T(n): 1+3+..+(2n-1)=

T( )=T(n+1)=1+3+..+(2n-1)+(2n+1)=

1+3+..+(2n-1)+(2n+1)=

Независимость А1 Независимость А2 Независимость А3 Независимость А4

А1 не выполняется

§2.Сложение натуральных чисел и его свойства

Опр.1 Сложением на множестве натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция . Она обозначается знаком «+» и результат называется суммой которая удовлетворяет следующим условиям:

1) 2)

Пример: Найти сумму 2+5

Опр.2 Сложением натуральных чисел называется функция .

[a+b называется суммой натуральных чисел a и b причем выполняются: 1) 2) ].

При фиксированном числе а функция f определяет функцию , которая удовлетворяет следующим условиям

( 1) (2)

Теорема: Сложение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определено единственным образом.

Доказательство: Единственность. Достаточно доказать, что функция , которая удовлетворяет условиям (1) и (2) определена единственным образом. Пусть

(3), (4)

Докажем

Существование. Докажем, что , которая удовлетворяет условиям (1) и (2).

(5) , (6) По определению

Теорема (Закон ассоциативности сложения)

Доказательство: выберем а и b произвольным образом и зафиксируем их. Докажем ММИ по (с)

Теорема (Закон коммутативности сложения)

Доказательство: ММИ по (а)

, докажем

- истина. Пусть . Нужно доказать:

ММИ по (b) а=1 , а+1=1+а - доказано. Пусть

Теорема (свойство сокращения)

Доказательство: ММИ по (c)