2.4.3 Аналіз двоїстих оцінок

Постоптимізаційний аналіз

Аналіз двоїстих змінних продовжимо на прикладі задачі про випуск продукції (приклад 1).

Зміст змінних ─ оптимальний план випуску продукції;

─ витрати ресурсів.

Зміст основних двоїстих змінних ─ показують наскільки зміниться ЦФ при збільшенні відповідного ресурсу на одиницю. 3-й ресурс збитковий ─ його збільшення недоцільне.

Додаткові двоїсті змінні свідчать про те, наскільки оцінки ресурсів, необхідних для випуску одиниці продукції, перевищують ціну продукції .

Для видів продукції, які ввійшли в оптимальний план, їх додаткові двоїсті змінні дорівнюють . Їх випуск не принесе збитку.

Якщо ж продукція не ввійшла в оптимальний план, то її випуск принесе збитки.

Тобто, додаткові двоїсті змінні відображають можливий збиток від випуску одиниці нерентабельного виду продукції.

Склад двоїстої змінної

Цінність теорії двоїстості ─ можливість проведення постоптимізаційного аналізу.

Не розв’язуючи задачу, ми можемо сказати, як зміниться план при зміні обмежень (обсягів ресурсів).

Оцінки дозволяють сказати про зміну ЦФ, але не тільки.

Виявляється, можна визначити й сам новий план (не розв’язуючи задачу) при зміні того чи іншого ресурсу на одиницю.

Розглянемо, наприклад, перший обмежений ресурс Р1. Він дефіцитний. Збільшення його на одиницю призведе до додаткового випуску продукції на 15 грн. За рахунок чого?

Візьмемо стовпчик останньої симплексної таблиці, тобто стовпчик .

Його елементи відображають зміну значень базисних змінних при збільшенні першого ресурсу на одиницю.

Тобто при збільшенні першого ресурсу на одиницю значення

зміниться на

зміниться на

Резерв же третього ресурсу скоротиться:

зміниться на

Оцінка продукції збільшиться на (грн.), що відповідає двоїстій оцінці першого ресурсу.

Аналогічно при збільшенні другого ресурсу на одиницю обсяг випущеної продукції (в грн.) зросте на (грн.)

Взаємозамінність ресурсів

Виникає питання: якщо перший та другий ресурси дефіцитні, й, наприклад, перший зменшився на одиницю, то на скільки одиниць потрібно збільшити другий ресурс, щоб екстремальне значення ЦФ не змінилося?

Введемо поняття коефіцієнту взаємозамінності:

Коефіцієнт показує скільки одиниць ресурсу необхідно додатково мати, щоб компенсувати зменшення ресурсу на одиницю.

, (*)

де ─ двоїсті оцінки в оптимальному плані -го та -го ресурсів.

Для нашого випадку , тобто

Зменшивши трудові ресурси на 1 чол./год., можна отримати той самий обсяг випуску товарної продукції, що й з вихідними ресурсами, збільшивши обсяг напівфабрикатів на 3 кг. В наступній таблиці (таблиця 3) представлені значення коефіцієнтів взаємозамінності для нашої задачі (приклад 1).

Таблиця 3

i k	1	2	3
1
2	3	1
3			1

Знак означає, що замінити, наприклад, зменшення робочої сили або напівфабрикатів на одиницю ніяким збільшенням третього ресурсу (станкового обладнання) неможливо.

Оцінка нової продукції.

Нехай підприємство розробило нову продукцію. Апробація її дозволила визначити витрати кожного обмеженого ресурсу та її ціну.

Необхідно визначити доцільність широкого випуску, тобто чи забезпечить її випуск збільшення ЦФ?

Щоб відповісти на це питання, можна обсяг випуску нової продукції позначити через та розв’язати задачу симплексним методом.

Але можна відповісти на це питання, не розв’язуючи нову задачу, а використовуючи вже існуючу.

Як відомо, кожній невідомій величині прямої задачі відповідає обмеження двоїстої.

Якщо , то відповідне йому обмеження виконується як сувора рівність:

.

В цьому випадку нова продукція рентабельна.

Якщо ж обмеження має вид:

то значення додаткової двоїстої змінної

(**)

покаже, на скільки зменшиться значення ЦФ при випуску одиниці нової продукції.

Приклад 2.4.5. Нехай для задачі про випуск продукції (приклад 1) вирішується питання про продукцію П5 з характеристиками, наведеними в таблиці 4.

Таблиця 4

Ресурси	П5
Трудові ресурси, чол-год.	3
Напівфабрикати, кг.	1
Станкове обладнання, станко-год.	1
Ціна одиниці продукції, грн.	80
План випуску

Складемо умову (**):

Продукція П5, безумовно, вигідна (ЦФ зменшиться на (-30), тобто збільшиться на 30грн.).

Цю ж схему можна застосовувати для встановлення ціни на нову продукцію.

Стійкість двоїстих оцінок

Як випливає з теореми 6, змінні визначають вклад в ЦФ кожного ресурсу при його зміні на одиницю.

Однак, якщо в прикладі двоїста змінна першого ресурсу дорівнює 15, то це не означає, що при його збільшенні на 400 од. обсяг випуску зросте на 6000 грн.

За значного зростання обмеженого ресурсу його двоїста оцінка може зменшуватися!

Виявляється, межі стійкості двоїстих оцінок тісно пов’язані зі змінами обмежених ресурсів і змінюються стрибкоподібно (рис. 1).

Рисунок 1

В інтервалі постійності двоїстої змінної структура оптимального плану не змінюється, тобто зберігається набір вільних і базисних змінних.

Кількісне ж значення базисних змінних при зміні обмеженого ресурсу навіть в межах постійності двоїстої змінної змінюється.

Припустимо далі, що з самого початку при вивченні питання про використання відходів основного виробництва на підприємстві з’явилась можливість реалізації їх деякій організації.

Необхідно встановити прикидні оцінки (ціни) на ці відходи. Позначимо їх . Оцінки повинні бути встановлені виходячи з наступних вимог, які відображають неспівпадаючі інтереси підприємства та організації:

1. Загальну вартість відходів сировини організація-покупець намагається мінімізувати;

2. Підприємство погоджується надати відходи тільки за такими цінами, за яких воно отримає виручку, не меншу тієї, що могла б бути отримана, якби було організовано власне виробництво.

Ці вимоги формалізуються у вид наступної ЗЛП.

Вимога 1.

(4)

Вимога 2: підприємство відмовиться від випуску кожної одиниці продукції першого виду, якщо

де ліва частина ─ означає виручку за сировину, яка відводиться на одиницю продукції першого виду;

права частина ─ її ціну.

Аналогічні міркування легко провести по відношенню до випуску продукції кожного виду. Тому вимоги підприємства, яке реалізує відходи сировини можна подати у вигляді наступної системи обмежень:

(5)

За змістом задачі оцінки повинні бути невід’ємними:

(6)