2.4.2.1 Основні теореми теорії двоїстості та їх економічний зміст

 Теорема 4 ─ Перша основна теорема двоїстості

Якщо одна з двоїстих задач має оптимальне рішення, то й друга має оптимальне рішення, при чому екстремальні значення ЦФ рівні: .

Якщо ж одна з двоїстих задач не може бути розв’язана внаслідок необмеженості ЦФ на множині припустимих розв’язків, то система обмежень другої задачі містить протиріччя.

Економічний зміст І теореми двоїстості полягає в наступному:

Оптимальний план виробництва можна побудувати лише у випадку, якщо ресурсам можна поставити у відповідність раціональні оцінки. І навпаки, ресурси припускають відповідну оцінку лише при наявності оптимального плану виробництва. При цьому оцінка продукту, отриманого при реалізації оптимального плану, співпадає з сумарною оцінкою наявних ресурсів. Будь-який інший план нерентабельний.

Якщо ─ оцінка реалізації одиниці продукції, що випускається ─ задається зверху, то ─ внутрішня оцінка ресурсу.

В цих термінах І теорема двоїстості інтерпретується так: припустимий план виробництва й вектор оцінок ресурсів виявляються оптимальними тоді, коли обсяг реалізації продукції, виміряний у зовнішніх цінах , буде дорівнювати оцінці всіх ресурсів у внутрішніх «цінах» , виділених для виробничого споживання.

Звідси двоїсті оцінки виступають як інструменти балансування витрат та результатів.

Двоїсті оцінки мають таку властивість, що вони гарантують рентабельність оптимального плану, тобто рівність загальної оцінки продукції й ресурсів, й обумовлюють збитковість будь-якого іншого плану, відмінного від оптимального.

Двоїсті оцінки дозволяють співставити та збалансувати витрати й результати системи.

Між змінними прямої та двоїстої задачі можна встановити наступну взаємо однозначну відповідність:

,

тобто співставляються вільні змінні однієї задачі й базисні змінні другої, й навпаки.

Розглянемо пару симетричних двоїстих задач:

Приводимо до канонічного виду:

,

тобто , .

Отримати розв’язок двоїстої задачі можна з останньої симплексної таблиці прямої задачі.

Якщо пряма задача розв’язується на min, то оптимальний розв’язок двоїстої задачі відповідає оцінкам індексного рядка, узятим з протилежним знаком:

Якщо пряма задача розв’язується на max, то оптимальний розв’язок двоїстої задачі визначається:

Приклад 2.4.2. За умовами прикладу 2.4.1 знайти:

1. асортимент продукції, що випускається, який забезпечував би підприємству максимальну виручку;

2. оцінки ресурсів, що використовуються при виробництві продукції.

Розв’язок:

1. Симплексним методом розв’язуємо пряму задачу, модель якої наведена в прикладі 1. В результаті отримуємо таблицю 2.

Таблиця 2

БЗ	СБ	В
			65	70	60	120	0	0	0
	120 60 0	500 400 200	5/12 1/3 -1/12	-1/6 5/3 -19,6	0 1 0	1 0 0	1/8 0 -1/8	-1/24 1/6 -7/24	0 0 1
ЦФ		84000	5	10	0	0	15	5	0

Отримано оптимальний план , .

Основні змінні показують, що продукцію П1 та П2 випускати немає сенсу, а продукцію П3 необхідно виробити в кількості 400 од., П4 ─ 500од.

Додаткові змінні показують, що ресурси Р1 та Р2 використовуються повністю ( ), а рівність говорить про те, що 200 од. ресурсу Р3 залишилися невикористаними.

2. Випишемо з таблиці 2 компоненти оптимального плану двоїстої задачі (приклад 2.4.1) ─ двоїсті оцінки.

В канонічній формі прямої задачі змінні є вільними, а додаткові змінні ─ базисними. В канонічній формі двоїстої задачі вільними будуть , а базисними ─ . Відповідність між змінними прийме вигляд:

Враховуючи цю відповідність, виписуємо з індексного рядку останньої таблиці (2) компоненти шуканого оптимального плану.

─ двоїсті оцінки

Відповідно до теореми 4 .

Запишемо цю рівність в розгорнутій формі:

Враховуючи, що компоненти являють собою оцінки ресурсів Р1, Р2, Р3 робимо висновок: за оптимального плану оцінка ресурсів, витрачених на випуск продукції, співпадає з оцінкою виробленої продукції. (В цьому полягає економічний зміст теореми 4).

Тобто оптимальність плану визначає точне втілення в оцінці виробленої за цим планом продукції оцінки всіх витрачених ресурсів, тобто повну відсутність невиробничих витрат.

 Теорема 5 ─ Друга теорема двоїстості (про доповнюючу нежорсткість).

Для того, щоб плани та пари двоїстих задач були оптимальними, необхідно і достатньо виконання умов:

Доведення:

Необхідність. Нехай та ─ оптимальні плани пари двоїстих задач

Згідно теореми 4, для цих планів значення ЦФ співпадають , тобто

(32)

Підставивши у вираз (32) з рівності (31), отримаємо

, звідси

(33)

Так як та , то з рівності (33) випливає умова (29). Умова (30) доводиться аналогічно.

Достатність. Нехай для деяких припустимих планів та виконуються умови (29). Доведемо їх оптимальність. Просумувавши рівність (29) за усіма від 1 до та виконавши перетворення, протилежні попереднім, отримаємо вираз (32). Згідно критерію Канторовича, плани та є оптимальними.

Ми довели теорему для пари двоїстих задач, одна з яких записана в канонічній формі. Теорема, проте, залишається справедливою для будь-якої пари двоїстих задач.

Умови (29) та (30) називаються умовами доповнюючої нежорсткості. З них випливає:

• якщо будь-яке обмеження однієї з задач її оптимальним планом на сувору нерівність, то відповідна компонента оптимального плану двоїстої задачі повинна дорівнювати нулю;

• якщо ж будь-яка компонента оптимального плану однієї з задач додатна, то відповідне обмеження в двоїстій задачі її оптимальним планом повинне перетворюватися в сувору рівність.

Тобто, якщо ;

якщо .

Аналогічно, якщо ;

якщо .

Економічний зміст: якщо за деяким оптимальним планом виробництва витрати -го ресурсу суворо менше його запасу , то в оптимальному плані відповідна двоїста оцінка одиниці цього ресурсу дорівнюватиме нулю.

Якщо ж в деякому оптимальному плані оцінок його -та компонента суворо більше нуля, то в оптимальному плані виробництва витрати відповідного ресурсу дорівнюватимуть його запасу.

Звідси випливає висновок, що двоїсті оцінки можуть слугувати мірою дефіцитності ресурсів.

Дефіцитний ресурс (повністю використаний за оптимальним планом виробництва) має додатну оцінку, а ресурс надлишковий (використовується не повністю) має нульову оцінку.

Приклад 2.4.3. В умовах прикладу 1 встановити ступінь дефіцитності використовуваних ресурсів і обґрунтувати рентабельність оптимального плану.

Розв’язок: В прикладі 2 знайдений оптимальний план випуску продукції. За цим планом третє обмеження прямої задачі виконується як сувора нерівність: . Це означає, що витрати ресурсу Р3 менше його запасу, тобто ресурс Р3 надлишковий. Саме тому в оптимальному плані двоїстої задачі оцінка цього ресурсу .

Оцінки ресурсів Р1 та Р2 виражаються додатними числами 15 і 5, що свідчить про дефіцитність цих ресурсів.

Насправді, обмеження по цих ресурсах виконуються як суворі рівності:

.

Так як , то ресурс Р1 вважається більш дефіцитним, ніж ресурс Р2.

На основі теореми 5 можна пояснити чому не ввійшла в оптимальний план продукція П1 та П2: перше та друге обмеження двоїстої задачі виконуються як суворі рівності: . Це означає, що оцінки ресурсів, витрачених на виготовлення продукції П1 та П2, перевищують оцінки одиниці цієї продукції. Зрозуміло, що таку продукцію випускати підприємству невигідно. Що ж стосується продукції П3 та П4 ( ), то випуск її виправданий, так як оцінка витрачених ресурсів співпадає з оцінкою виробленої продукції: , тобто в оптимальний план ввійде тільки та продукція, яка вигідна підприємству, і не ввійде збиткова продукція. В цьому і проявляється рентабельність оптимального плану.

Розглянемо задачу визначення оптимального плану випуску продукції (приклад 2.4.1). Уявімо, що запаси ресурсів можуть змінюватися. Виникає питання: як ці зміни вплинуть на екстремальне значення виручки підприємства?

На це питання відповідає наступна теорема:

 Теорема 6 ─ Третя теорема двоїстості (про оцінки).

Двоїсті оцінки показують приріст функції цілі, викликаний малими змінами вільного члена відповідного обмеження задачі ЛП, точніше:

. (34)

Тобто значення двоїстих змінних в оптимальному плані дорівнюють зміні ЦФ при малих змінах відповідного обмеженого ресурсу.

Для визначення економічного змісту ІІІ теореми двоїстості в рівності (34) диференціал замінимо приростами .

Отримаємо

При маємо

Звідси величина двоїстої оцінки чисельно дорівнює зміні ЦФ при зміні відповідного вільного члена (запасу ресурсу) на одиницю.

У прикладних задачах двоїсті оцінки часто називають скритими, тіньовими цінами або маргинальними оцінками ресурсів.

Приклад 2.4.4. В умовах прикладу 1 дослідити можливість подальшого вдосконалення оптимального асортименту продукції.

Розв’язок: В прикладі 3 встановлено, що ресурси Р1 та Р2 являються дефіцитними. На основі теореми 6 можна стверджувати, що на кожну одиницю ресурсу , введену додатково у виробництво, буде отримана додаткова виручка , яка чисельно дорівнює .

Дійсно, при отримаємо .

По цим же причинам кожна додаткова одиниця ресурсу Р2 забезпечить приріст виручки, яка дорівнює 5 грн.

Тепер зрозуміло, чому ресурс Р1 вважається більш дефіцитним в порівнянні з ресурсом Р2: він може сприяти отриманню більшої виручки.

Що стосується надлишкового ресурсу Р3, то збільшення його запасу не призведе до збільшення виручки, так як .

З цих міркувань випливає, що оцінки ресурсів дозволяють удосконалювати план випуску продукції.

Розглянемо економічний зміст оцінок продукції П1, П2, П3, П4.

За оптимальним планом випускати слід продукцію П3, П4. Оцінки цих видів продукції дорівнюють .

Представимо ці оцінки в розгорнутому записі:

Тобто, нульова оцінка показує, що ця продукція являється не збитковою, так як оцінка ресурсів, що витрачаються на випуск одиниці такої продукції, співпадає з оцінкою (ціною) одиниці виготовленої продукції.

Що ж стосується продукції П1, П2 (збиткова ─ встановлено з прикладу 2.4.3), яка не ввійшла в план, то для її оцінок отримуємо:

Звідси видно, що оцінка збиткової продукції показує, наскільки буде зменшувати кожна вироблена одиниця такої продукції досягнутий оптимальний план виручки.

Зауваження! Про інтерпретацію двоїстих оцінок.

В прикладах 2.4.1-4 розглянуто економічний зміст двоїстих оцінок відповідно до умов прикладу 2.4.1.

Інтерпретація двоїстих оцінок залежить від виду задачі ЛП. Іноді, вона настільки неочевидна, що являє собою серйозну проблему, особливо в задачах, в яких обмеження мають різні знаки ( ) за невід’ємності правої частини.