2.4.2 Несиметричні двоїсті задачі

Розглянемо ЗЛП на max в канонічній формі:

Для того, щоб записати двоїсту задачу, представимо обмеження-рівності (14) у виді систем рівносильних нерівностей:

(16)

Помноживши друге з нерівностей (16) на , отримаємо задачу в симетричній формі:

Введемо двоїсті змінні для кожної системи обмежень (18), (19).

Двоїста задача до (17)-(20) прийме вигляд:

Введемо нові змінні: (24).

Якщо змінну вважати відповідною обмеженню (14) прямої задачі, то зі співвідношень (21)-(24) отримаємо двоїсту задачу у вигляді:

З умов (23), (24) випливає, що змінні можуть приймати як додатне, так і від’ємне значення, а також дорівнювати 0, тобто на знак цих змінних ніяких обмежень не потрібно накладати.

Задачі (13)-(15) та (25)-(26) являють собою пару несиметричних двоїстих задач.

Таким же чином формується двоїста задача у випадку, коли в обмеження вихідної задачі входять як нерівності, так і рівності:

Пряма задача

Двоїста задача

Двоїста задача зі змішаними обмеженнями складається з дотриманням наступних додаткових правил:

1. Якщо на змінну прямої задачі накладена умова невід’ємності, то умова системи обмежень двоїстої задачі записується у вигляді нерівності, і навпаки;

2. Якщо на змінну прямої задачі не накладена умова невід’ємності, то обмеження двоїстої задачі записується у вигляді суворої рівності;

3. Якщо в прямій задачі наявні обмеження-рівності, то на відповідні змінні двоїстої задачі не накладається умова невід’ємності.

Очевидно, що задача двоїста до двоїстої співпадає з вихідною. Тому немає різниці, яку задачу прийняти на початку за пряму, а яку ─ за двоїсту. Необхідно говорити про пару взаємно двоїстих задач.

Перейдемо до властивостей задач. Основні теореми теорії двоїстості.

Розглянемо пару двоїстих задач (7)-(9) та (10)-(12) (симетричні).

 Теорема 1 ─ Основна нерівність теорії двоїстості

Для будь-яких припустимих планів та прямої та двоїстої ЗЛП справедлива нерівність , тобто

Доведення:

Враховуючи нерівності (8) та (11), отримаємо:

■

Економічний зміст нерівності (27) полягає в тому, що для будь-якого припустимого плану виробництва і будь-якого припустимого вектора оцінок ресурсів загальна створена вартість (виготовленого продукту) не перевищує сумарної оцінки ресурсів.

 Теорема 2 ─ Критерій оптимальності Канторовича

Якщо для деяких припустимих планів та пари двоїстих задач виконується рівність , то та являється оптимальними планами відповідних задач.

Доведення:

Відповідно до основної нерівності двоїстості, для будь-якого припустимого плану прямої задачі й припустимого плану двоїстої задачі справедлива нерівність . Але за умовою . Виходячи з транзитивності відношень та , отримаємо . Так як ─ довільний план, то , тобто ─ оптимальний план прямої ЗЛП.

Аналогічно доводиться, що план є оптимальним планом для двоїстої задачі.

Економічний зміст теореми 2 полягає в тому, що план виробництва та вектор оцінок ресурсів являється оптимальними, якщо ціна виробленої продукції й сумарна оцінка ресурсів співпадають.

 Теорема 3 ─ Мала теорема двоїстості (теорема існування)

Для того, щоб пряма та двоїста задачі ЛП мали оптимальний розв’язок, необхідно й достатньо, щоб існували припустимі розв’язки для кожної задачі.

Доведення:

Необхідність. Нехай задачі двоїстої пари мають оптимальні плани та . Це означає, що та , тобто належать множині припустимих планів, тобто існуючі системи обмежень пари двоїстих задач сумісні, вони мають хоча б по одному припустимому плану ( та ).

Достатність. Нехай кожна з пари двоїстих задач має припустимий план. Доведемо, що вони мають оптимальні плани.

Нехай ─ припустимий план задачі (10)-(12). Тоді для будь-якого припустимого плану задачі (7)-(9), відповідно до основної нерівності теорії двоїстості (27), отримаємо

(28)

Розв’язуючи задачу (7)-(9) симплексним методом отримаємо послідовність опорних планів для яких . В силу нерівності (28) ця послідовність обмежена зверху. В ній знайдеться найбільше значення функції (згадаємо: задача ЗЛП не має розв’язку, якщо ЦФ необмежена зверху). Відповідно, існує припустимий план , для якого . Аналогічно доводимо, що . ■