Билет №4. «Линейная зависимость и независимость векторов».

Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Линейной комбинацией векторов называется вектор , где - некоторые числа, . Система векторов называется линейно-независимой, если равенство линейной комби­нации этих векторов нулевому вектору возможно лишь в случае равенства нулю всех коэффициентов. В против­ном случае система векторов называется линейно-зави­симой.

Рассмотрим линейно-зависимую систему из двух векто­ров . Для них возможно равенство, где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля: . Следовательно, коллинеарен . Таким образом, линейная зависимость системы двух векторов означает их коллинеарность.

При определении линейной независимости системы век­торов предполагается, что все рассматриваемые векторы ненулевые.

Если два вектора коллинеарны, то они образуют ли­нейно-зависимую систему.

Теорема 3.1. Если два вектора и заданы своими координатами в ОДСК на плоскости и , то для того, чтобы эти векторы были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы (1).

Доказательство. Необходимость.

Пусть . Очевидно, если один из векторов нулевой, то (1) верно. Если оба вектора ненулевые, то .

.

Анало­гично рассматривается случай в пространстве.

Достаточность. Пусть , . Если нулевой, то . Если , то , откуда находим, что . Доказано.

Базисом векторов плоскости называются упорядочен­ные пары неколлинеарных векторов. Так как любая тройка векторов плоскости является линейно-зависимой, то базис можно определить как максимально линейно-независимую систему векторов.

Любой вектор плоскости представим и притом единст­венным образом в виде линейной комбинации векторов базиса. При этом коэффициенты в разложении по дан­ному базису совпадают с координатами вектора в ОДСК, масштабными векторами которой являются век­тора базиса.

Доказательство.

Отложим векторы базиса и и произвольный вектор плоскости от точки О. Спроектируем вектор на пря­мые, определяемые векторами соответственно, параллельно векторам .

Вектор представим в виде линейной комбинации векто­ров базиса. Покажем, что это представление едино.

Так как система векторов линейно независима, то:

.

Из построения разложения вектора следует, что если на плоскости ввести ОДСК с масштабными векторами , то координаты вектора , определяемые через параллельное проектирование, совпадают с коэффици­ентами  и .

Три вектора пространства называются компланарными, если, будучи приложены к одной точке, они лежат в од­ной плоскости.

Теорема 3.2. Для того чтобы три вектора пространства, заданные своими координатами в ОДСК были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство. Необходимость.

Если векторы компланарны, то они принадлежат одной плоскости, а, следовательно, являются линейно-зависи­мыми (как и любая тройка векторов). То есть в линейной комбинации хотя бы один из коэффи­циентов не равен нулю и тогда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных:

.

Следовательно, координаты вектора являются линей­ной комбинацией векторов и

и в рассматриваемом определителе элементы первой строки являются линейной комбинацией остальных строк. По свойству определителя, такой определитель равен нулю. Доказано.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка векторов. Аналогично плоскому случаю, чет­вёртка любых векторов в пространстве является ли­нейно-зависимой системой. Любой вектор пространства разложим и притом единственным образом по базису, а коэффициенты в данном разложении совпадают с коор­динатами вектора в ОДСК, масштабными векторами которых являются векторы базиса.