Тема 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Лекция 12. Функция нескольких переменных, её предел, непрерывность и дифференцируемость.

52. Понятие функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение 1: Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х; у). Соответствие ƒ, которое каждой паре чисел (х; у)D сопоставляет одно и только одно число zR, называется функцией двух переменных, определённой на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z=ƒ(х; у) или ƒ: D→R. При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Определение 2: Множество D=D(f) называется областью определения (существования) функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью значений (изменения) этой функции, обозначается Е=E(f).

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S=ху. Областью определения этой функции является множество {(х; у) | х>0, у>0}.

Функцию z=ƒ(х; у), где (х; у)D можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х; у) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями.

Определение 3: Линию, ограничивающую область, называют границей области определения. Точки области, лежащие на границе, называются граничными. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними.

Определение 4: Область определения, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Область определения с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z=ƒ(х; у) в точке М₀(х₀; у₀) обозначают z₀=ƒ(х₀; у₀) или z₀=ƒ(М₀) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке М₀(х₀; у₀) области D в системе координат Oxyz соответствует точка M(x₀; y₀; z₀), где z₀=ƒ(х₀; у₀) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z=ƒ(х; у).

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

52. Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введём понятие окрестности точки.

Определение 1: Множество всех точек М(х; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется –окрестностью точки М₀(х₀; у₀). Другими словами, -окрестность точки М₀ – это все внутренние точки круга с центром М₀ и радиусом .

Определение 2: Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀; у₀), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z=ƒ(х; у) при х→х₀ и у→у₀ (или, что то же самое, при М(х; у)→М₀(х₀; у₀), если для любого є>0 существует >0 такое, что для всех х≠х₀ и у≠у₀ и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство |ƒ(х; у)–А|<є. Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М₀ (число таких направлений бесконечно; в частности для функции одной переменной х→х₀ по двум направлениям: справа и слева).

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число >0, найдется –окрестность точки М₀(х₀; у₀), что во всех её точках М(х; у), отличных от М₀(х₀; у₀), аппликаты соответствующих точек поверхности z=ƒ(х; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на .

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции ƒ(М) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке М₀ этого множества пределы А и В соответственно, то и функции ƒ(М)±g(M), ƒ(М)·g(М), ƒ(М)/g(М), имеют в точке М₀ пределы, которые соответственно равны А±В, А·В, A/B (В≠0).

Определение 3: Функция z=ƒ(х; у) (или f(М)) называется непрерывной в точке М₀(х₀; у₀), если она:

а) определена в этой точке и некоторой её окрестности,

б) имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке М₀, т. е.:

Определение 4: Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х; у) могут образовывать целые линии разрыва. Например, функция имеет линию разрыва у=х.

Можно дать другое, равносильное приведённому выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х; у) в точке.

Определение 5: Обозначим Δх=х–х₀, Δу=у–у₀, Δz=ƒ(х; у)–ƒ(х₀; у₀). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz – полным приращением функции ƒ(х; у) в точке М₀(х₀; у₀).

Определение 6: Функция z=ƒ(х; у) называется непрерывной в точке М₀(х₀; у₀)D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения её аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах — арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям.