Построение графика:

По полученным значениям построим график (см. рис.1).

Рис. 1. График, построенный по точкам, полученным в результате решения дифференциального уравнения

Подбор многочлена:

Интерполируется отрезок [0;2.4] т.к. после точки 2.4 колебания прекращаются.

Интерполяционный многочлен будем подбирать методом наименьших квадратов:

Pm(x) = C₀ + C₁*x + C₂*x² + … + C_m*x^m,

где n – количество узлов интерполяции,

m – степень многочлена.

C 0*(n+1) +C1* Σxi + C2* Σxi^2 + … + Cm* Σxi^m = Σyi

C0* Σxi +C1* Σxi^2 + C2* Σxi^3 + … + Cm* Σxi^(m+1) = Σyi*xi

……………………………………………………………..

C0* Σxi^(m-1) +C1* Σxi^m + C2* Σxi^(m+1) + … + Cm* Σxi^(2m-1) = Σyi*xi^(m-1)

C0* Σxi^m +C1* Σxi^(m+1) + C2* Σxi^(m+2) + … + Cm* Σxi^2m = Σyi*xi^m

Матрица коэффициентов симметрична относительно главной диагонали, и ее можно решить методом Гаусса-Зейделя.

Погрешность считаем методом cсуммарного отклонения квадратов:

δ = Σ (P(xi)-yi)².

Очевидно, что данный график нельзя интерполировать с достаточной точностью на всём отрезке каким-либо одним многочленом. Следовательно, разобьём его на «подотрезки», на которых будет соблюдаться приемлемая точность интерполяции.

Точность ε = 0.01.

Отрезки: [0;0.134], [0.134;0.273], [0.273;0.399], [0.399;0.65] , [0.65;2.4].

Интервал [0; 0.134]:

Степень полинома на этом промежутке выберем равным 10, так как суммарное отклонение квадратов при этой степени и при степени 11 имеет разницу 1*10^-9.

Pm(x) = C₀ + C₁*x + C₂*x² + … + C_m*x^m,

m=10,

δ= 3.138734924193869 *10^-6< ε.

Коэффициенты полинома:

	P9	P10	P11
C0	0.000000490329946*108	0.000000049033000*109	0.000000049033000*109
C1	0.000010076371639*108	0.000001007627538*109	0.000001007627471*109
C2	-0.000235756119055*108	-0.000023573331555*109	-0.000023573312159 *109
C3	-0.000164875737677*108	-0.000016698182085*109	-0.000016700369923 *109
C4	0.013378817917238*108	0.001347862415583*109	0.001347989906270*109
C5	-0.023900602330168*108	-0.002663870328546*109	-0.002668234499474*109
C6	-0.292547562226169*108	-0.024656294241297*109	-0.024562667070593*109
C7	1.343063819667719*108	0.086321818048698*109	0.085026821467417 *109
C8	-1.412385367813298*108	0.162186195277824 *109	0.173725298582851*109
C9	-1.028867095920409*108	-1.167247346416284*109	-1.231226953227818*109
C10		1.589054646680597 *109	1.789838278444358 *109
C11			-0.272416839778496*109
	2.704536359208318*10-5	3.138734924193869 *10-6	3.134952948695799*10-6

График полученного полинома показан на рис. 2, он совпадает с графиком, построенным по точкам решения дифференциального уравнения.

Рис. 2. График, построенный по точкам, полученным в результате решения дифференциального уравнения (точки), и интерполяционный полином (линия)

на промежутке [0;0.134].