Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ В. И. ЛЕНИНА
Кафедра ПОКС
Курсовая работа
по дисциплине «Вычислительная математика»
Выполнил: студент гр. 3-42
Немчинов А.С.
Проверил: к.ф.м.н. проф.
Гусев В.А.
Иваново
2011 г.
Оглавление
Задание: 3
Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта: 3
Выбор шага: 4
Построение графика: 6
Подбор многочлена: 6
Интервал [0; 0.134]: 7
Интервал [0.134; 0.273]: 8
Интервал [0.273; 0.399]: 10
Интервал [0.399; 0.65]: 11
Интервал [0.65; 2.4]: 13
Вычисление сглаживающих многочленов: 16
Уточнение корней: 17
Заключение: 18
Задание:
Построить решение дифференциального уравнения численным методом, обосновав выбор шага.
Дифференциальное уравнение:
y´´ + 12y´ + 661y = - 2644;
y(0) = 49,0330;
y´(0) = 1007,6270;
Подобрать многочлен, описывающий полученное решение и определить его корни на полученном интервале.
Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта:
Решение дифференциального уравнения производится по методу Рунге-Кутта 4-го порядка, так как данный метод обеспечивает большую точность по сравнению с методами более низких порядков: суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h4) (ошибка на каждом шаге порядка O(h5)).
Представим ДУ второго порядка в виде системы ДУ первого порядка:
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется в несколько стадий:
Вычисление значения ki:
h — величина шага по x.
Вычисление
значений
,
,
:
Начальные значения:
x0 |
y0 |
z0 |
0 |
49,0330 |
1007,6270 |
Выбор шага:
Для выбора установим необходимую точность значений 0,000001.
Д
h=0,005 |
||
i |
xi |
yi |
0 |
0,0000 |
49,033000 |
1 |
0,0050 |
53,480549 |
2 |
0,0100 |
56,748430 |
3 |
0,0150 |
58,852994 |
4 |
0,0200 |
59,828274 |
5 |
0,0250 |
59,724408 |
6 |
0,0300 |
58,605899 |
7 |
0,0350 |
56,549746 |
8 |
0,0400 |
53,643483 |
9 |
0,0450 |
49,983164 |
10 |
0,0500 |
45,671327 |
11 |
0,0550 |
40,814973 |
12 |
0,0600 |
35,523597 |
13 |
0,0650 |
29,907284 |
14 |
0,0700 |
24,074912 |
15 |
0,0750 |
18,132483 |
16 |
0,0800 |
12,181586 |
17 |
0,0850 |
6,318032 |
18 |
0,0900 |
0,630652 |
19 |
0,0950 |
-4,799715 |
20 |
0,1000 |
-9,901057 |
21 |
0,1050 |
-14,610823 |
22 |
0,1100 |
-18,876378 |
23 |
0,1150 |
-22,655265 |
24 |
0,1200 |
-25,915298 |
25 |
0,1250 |
-28,634471 |
h=0,0025 |
||
i |
xi |
yi |
0 |
0,0000 |
49,033000 |
1 |
0,0025 |
51,404526 |
2 |
0,0050 |
53,480551 |
3 |
0,0075 |
55,261360 |
4 |
0,0100 |
56,748433 |
5 |
0,0125 |
57,944402 |
6 |
0,0150 |
58,853004 |
7 |
0,0175 |
59,479035 |
8 |
0,0200 |
59,828299 |
9 |
0,0225 |
59,907555 |
10 |
0,0250 |
59,724461 |
11 |
0,0275 |
59,287515 |
12 |
0,0300 |
58,605996 |
13 |
0,0325 |
57,689907 |
14 |
0,0350 |
56,549906 |
15 |
0,0375 |
55,197249 |
16 |
0,0400 |
53,643724 |
17 |
0,0425 |
51,901589 |
18 |
0,0450 |
49,983505 |
19 |
0,0475 |
47,902477 |
20 |
0,0500 |
45,671786 |
21 |
0,0525 |
43,304931 |
22 |
0,0550 |
40,815566 |
23 |
0,0575 |
38,217441 |
24 |
0,0600 |
35,524338 |
25 |
0,0625 |
32,750024 |
алее, варьируя шаг, сравним значения Y при соответствующих X.
h=0,01 |
||
i |
xi |
yi |
0 |
0,0000 |
49,033000 |
1 |
0,0100 |
56,748351 |
2 |
0,0200 |
59,828055 |
3 |
0,0300 |
58,605195 |
4 |
0,0400 |
53,641780 |
5 |
0,0500 |
45,668053 |
6 |
0,0600 |
35,518239 |
7 |
0,0700 |
24,067103 |
8 |
0,0800 |
12,171175 |
9 |
0,0900 |
0,617744 |
10 |
0,1000 |
-9,916094 |
11 |
0,1100 |
-18,892935 |
12 |
0,1200 |
-25,932572 |
13 |
0,1300 |
-30,817789 |
14 |
0,1400 |
-33,489395 |
15 |
0,1500 |
-34,032036 |
16 |
0,1600 |
-32,652693 |
17 |
0,1700 |
-29,654034 |
18 |
0,1800 |
-25,404846 |
19 |
0,1900 |
-20,309718 |
20 |
0,2000 |
-14,779925 |
21 |
0,2100 |
-9,207192 |
22 |
0,2200 |
-3,941634 |
23 |
0,2300 |
0,725230 |
24 |
0,2400 |
4,571923 |
25 |
0,2500 |
7,452809 |
h
=0,00125 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
xi |
yi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0,0000 |
49,033000 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
0,0013 |
50,255671 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
0,0025 |
51,404526 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
0,0038 |
52,479487 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
0,0050 |
53,480551 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
0,0063 |
54,407792 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
0,0075 |
55,261360 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
0,0088 |
56,041475 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
0,0100 |
56,748433 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
0,0113 |
57,382598 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
0,0125 |
57,944402 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
0,0138 |
58,434349 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
0,0150 |
58,853005 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
0,0163 |
59,201002 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
0,0175 |
59,479037 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
0,0188 |
59,687865 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
0,0200 |
59,828302 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
0,0213 |
59,901224 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 |
0,0225 |
59,907560 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
0,0238 |
59,848296 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
0,0250 |
59,724468 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
0,0263 |
59,537166 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
0,0275 |
59,287525 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
0,0288 |
58,976730 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 |
0,0300 |
58,606010 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
0,0313 |
58,176637 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разница между значениями, при шагах h=0.00125 h=0.001, не существенная, поэтому остановимся на шаге h=0.001.