Определить:

1. длину вектора с = аλ, если λ = 2.

2. угол между векторами а и b

3. сумму и разность векторов а и b

4. площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, как на сторонах.

Решение. 1. Так как с = аλ, то проекции вектора с равны

x_c = (-1) • 2 = -2,

у_c = 3 • 2 = 6,

z_c = 2 • 2 = 4,

тогда вектор c записывается: c (-2, 6,4) и его длина равна

c = |c| ед. дл.

2. Косинус угла между двумя векторами вычисляются по формуле

cos(a,^ b) = a • b/a • b

Скалярное произведение векторов а и b, заданных своими проекциями, определяется по формуле

a ∙ b = x_a ∙ x_b + y_a ∙ y_b + z_a ∙ z _b= (-1) ∙ 0 + 3 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = 14,

вектор а имеет длину

a = |a| ед. дл.

вектор b имеет длину

b = |b| ед. длины.

Тогда cos (a,^b)

3. Используя формулы

a + b = d = (x_a + x_b , y_a + y_b , z_a + z_b) и

a - b = е = (x_a – x_b , y_a – y_b , z_a – z_b).

получим соответственно

a + b= d = (-1, 7, 3) и

a – b = e = (-1, -1, 1) _{_ _}

4. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, численно равна длине вектора m =а x b, где а x b есть векторное произведение векторов а и b. Если единичные вектора обозначить через i, j, k, то векторное произведение векторов а и b равно _{_ _ _}

_{_ _ _ _} i j k _{_ __ _ _}

m =а x b = -1 3 2 = 3i + 0j - 4k - 0k - 8i + j = - 5i + j - 4k,

0 4 1

тогда длина вектора m равна

m = |m| ед. дл.

тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, численно равна длине вектора m, т.е. ед. площади.

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются скалярными, векторными?

2. Что называется модулем векторной величины?

3. Как геометрически изображают векторную величину?

4. Какие векторы называют равными?

5. Какие два вектора называются противоположными?

6. Сформулируйте правила сложения и вычитания векторов.

7. Как изменится вектор, если его умножить (разделить) на скаляр?

8. Какие векторы называются коллинеарными? компланарными?

9. Что называется проекцией вектора на ось?

10. Какой вектор называется единичным?

11. Какие единичные векторы называются ортами?

12. Что называется координатами вектора a в системе ортов?

13. Какие векторы называются составляющими (компонентами) вектора

а = а_xi + a_yj + a_zk ?

14. Как выразить вектор в системе ортов, если даны координаты точек, служащих началом и концом этого вектора?

15. Сформулируйте правила сложения, вычитания векторов, заданных своими проекциями на координатных осях.

16. Сформулируйте правила умножения и деления вектора на скаляр, если вектор задан в аналитическом виде, т.е. в системе ортов.

17. Что называется скалярным произведением двух векторов?

18. В чем заключается физический смысл скалярного произведения двух векторов?

19. В каком случае скалярное произведение равно нулю? положительно? отрицательно?

20. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

21. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

22. Чему равно скалярное произведение одноименных ортов? разноименных ортов?

23. Как найти скалярное произведение векторов, заданных в аналитическом виде?

24. Как найти угол между двумя векторами, заданными в аналитическом виде?

25. Что называется векторным произведением двух векторов?

Перечислите основные свойства векторного произведения.

27. Чему равно векторное произведение одноименных ортов? разноименных ортов?

28. Как векторное произведение двух векторов, заданных в аналитическом виде, записывают в форме определителя третьего порядка?

Тема №2.

Элементы математического анализа.

Введение в анализ (функция, предел, непрерывность)

Э.С. Маркович, ч.1, раздел 2, глава 5, §§ 19-23, глава 6, §§ 24-29, упражнения.

Производная и дифференциал.

Э.С. Маркович, ч.1, раздел 3, глава 7, §§30-38, глава 8, §§ 39-46, упражнения.

Указания.

I. Функция.

Особое внимание студент должен обратить на основное понятие математического анализа - понятие функции.

Понятие функции - это отражение связей и зависимостей, существующих в окружающем нас материальном мире. Рассмотрение самых разнообразных количественных отношений, существующих в природе и технике, приводит к понятию функциональной зависимости. Например, путь, пройденный материальной точкой, зависит от времени движения; давление газа зависит от его объема и т.д.

Современное определение функции впервые в 1834 г. ввел великий русский математик Н.И Лобачевский в статье "Об исчезании тригонометрических строк".

Следует понимать, что задание функции есть указание правила, которое позволяет по каждому частному значению аргумента х находить частное значение функции у. В большинстве случаев это правило задается при помощи формулы, например, у = х³ , у = , у = sinx и т.д. Символическая запись: у = f(x). Иногда заданное правило таково, что для любого значения аргумента x находится соответствующее значение функции у (например, для функции у = = х³). В других случаях только для некоторых значений аргумента применимы правила, определяющие данную функцию. Например, если у = , то действительные значения функции у получаются только для неотрицательных х. Все значения аргумента, для которых возможно применить правило, определяющее функцию, образуют область определения или область существования функции. Если каждое такое значение аргумента изобразить точкой, то вся область существования функции геометрически изобразится в виде некоторого множества точек числовой оси - отрезка, промежутка и т.п. Каждому частному значению аргумента х = а соответствует определенное числовое значение функции, которое обозначается f(а) и называется частным значением функции в точке х = а; конечно, точка х = а должна принадлежать области существования функции.

2. Предел.

Следует обратить внимание, что в определении предела функции не учитывается значение функции в предельной точке, иначе говоря, величина не зависит от величины f(x_o). Более того, значение f(x_o) может даже и не существовать. Отсюда следует, что под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию, не принимая во внимание поведение функции в предельной точке. В частности, например, под знаком предела можно производить сокращение дроби на множитель, обращающийся в предельной точке в нуль (но не равный нулю вблизи от этой точки).

Иногда это позволяет в тех случаях, когда применение теорем о пределах невозможно, сделать возможным их применение после некоторых преобразований под знаком предела.

Соображения о возможности тождественных преобразований под знаком предела применимы не только в том случае, когда аргумент х стремится к конечному пределу x_o, но при х → ∞.

3. Непрерывность функции.

Непрерывность является одним из основных свойств функций, рассматриваемых в курсе математического анализа.

Для функции f(x), непрерывной в точке х_о, имеет место равенство

т.е. для непрерывной функции f(x) знак предела и знак функции можно менять местами. В частности, это свойство имеет место в

случае, если f(x) - элементарная функция, так как элементарная функция непрерывна во всякой точке, в которой она определена.

Равенство (1) позволяет очень просто находить пределы непрерывных (в частности, элементарных) функций: отыскание предела функции сводится к вычислению значения функции в предельной точке.

Если же значение f(x_o) не определено, то равенство (1) теряет смысл. Но как мы уже знаем, под знаком предела можно производить преобразования, тождественные в окрестности точки х_о, из которой исключена сама точка х_о и особый интерес приобретает случай замены функции f(х) функцией φ(x), непрерывной в самой точке х_о. Тогда, очевидно,

4. Производная и дифференциал.

Производной от функции называется предел отношения ее приращения к приращению независимой переменной, когда последнее стремится к нулю.

Если независимую переменную и функции обозначают соответственно через х и у, а их приращения через ∆х и ∆у, то производную от этой функции по указанной переменной обозначают через dy/dx, или через у'. При этом получаются равенства:

(3)

Если независимую переменную и ее приращение обозначают соответственно через х и ∆х, то ее дифференциал обозначают через dx. При этом получаются соотношения:

dx = ∆х → 0, (4)

которые показывают, что дифференциал независимой переменной равен ее бесконечно малому приращению.

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Если независимую переменную, ее дифференциал, функцию и ее производную обозначают соответственно через х, dx, у , у' , то дифференциал этой функции обозначают через dy. При этом получается равенство

dy = y'dx (5)