Примеры решения задач

З адача I. Пользуясь правилом треугольников, вычислим определитель третьего порядка

1 3 -2

2 0 3 = 1• 0•2 + 3•3•(-2) + 2•1•(-2) - (-2)•0•(-2) - 2•3•2 - 1•3•1 =-37.

-2 1 2

Задача 2. Решить систему уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и

преобразуем ее:

Разделив четвертую строку на 3 и переставив ее со второй, строкой получим:

откуда x₁ = - 2, x₂ = 1, х₃ = 2.

Задача 3. Решить по формулам Крамера следующую систему уравнений:

Решение. Определитель этой системы

1 -1 1

∆ = 2 1 1 = 5 ≠ 0

1 1 2

Вычислим определители ∆j, получающиеся из определителя системы ∆ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_j свободными членами.

Откуда x₁ = 3, x₂ = -1, х₃ = 1. Легко заметить, что решение линейной системы из n уравнений с n неизвестными сводится к вычислению (n + 1) определителей порядка n. Если число n велико, то вычисление определителей является очень трудоемкой операцией. В таком случае выгоднее воспользоваться методом Гаусса.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Напишите формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков.

2. Сформулируйте свойства определителей третьего порядка.

3. Что называется минором некоторого элемента определителя третьего порядка?

4. Что называется алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя третьего порядка?

5. Как связаны между собой минор и алгебраическое дополнение некоторого элемента определителя третьего порядка?

6. Напишите разложение определителя третьего порядка по элементам первой и третьей строк.

7. Какая система линейных уравнений называется совместной?

8. В чем состоит метод Гаусса решения системы линейных уравнений?

9. Сформулируйте правило Крамера.

Элементы векторной алгебры.

Э.С. Маркович, ч.1, раздел 6, глава 14, § 72, упражнения 1-6,

Указания

Понятие вектора неоднократно встречается при изучении механики, физики, электротехники и других прикладных дисциплин. Сила, скорость, ускорение - это величины векторные. Поэтому изучению теории векторов следует уделить большое внимание.

Алгебра векторов содержит первоначальные сведения о действиях над векторами. Операции над векторами непосредственно связаны с соответствующими операциями над векторными величинами в механике. Например, все основные действия над векторами соответствуют операциям над силами: сложению и вычитанию векторов соответствует сложение и вычитание сил, умножение векторов (их в векторной алгебре два - скалярное и векторное) соответствуют операции: 1) нахождение величины работы силы на некотором пути и 2) нахождение момента силы относительно точки.

В учебнике векторы обозначаются буквами, напечатанными жирным шрифтом, например, а, b, c. Векторы можно также обозначить обыкновенными буквами с чертой наверху: вектор а или вектор . Последняя запись указывает, что точка А является началом вектора (или его точкой приложения), а точка В - его концом.

Пример решения задачи.

Даны векторы

а = (-1, 3, 2) и b = (0, 4, 1).