Аналогично, вторая полуплоскость определяется неравенством

9х – 2y – 58 ≤ 0, а третья – неравенством Зх – 10у + 46 ≥ 0. Таким образом, множество точек треугольника АВС определяется системой:

Треугольник АВС, медиана СЕ, точка Q пересечения медиан, высоты ВК и АD, точка Н пересечения высот построены в системе координат на рис. 1.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. В чем сущность метода координат?

2. Напишите формулу для определения расстояния между двумя точками на плоскости.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

4. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

5. Какой знак имеет угловой коэффициент прямой, образующей с положительным направлением оси Ох острый угол? тупой угол?

6. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках на осях?

7. Напишите уравнение прямой в общем вида. Как найти угловой коэффициент этой прямой?

8. Как расположена в плоскости хОу прямая, уравнение которой

Ах + Ву = 0; Ах +С = 0; Ах = 0; Ву = 0

(коэффициенты А, В, С отличны от нуля) ?

9. Как найти точку пересечения двух прямых?

10. Как убедиться в том, что данная точка принадлежит данной прямой?

11. Как построить прямую, заданную соответствующим уравнением?

12. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении?

13. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей черва две данные точки?

14. Напишите формулу для определения угла между прямыми на плоскости.

15. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Определители второго и третьего порядка

Э.С. Маркович, ч.1, раздел 6, глава 13, § 70, упражнения.

Указания

Определитель второго порядка вычисляется согласно определению по формуле

=

которая иллюстрируется следующей схемой:

Д ля определителя третьего порядка соответствующая формула имеет вид

а₁₁ а₁₂ а₁₃ = а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ +

а₂₁ а₂₂ а₂₃ + а₁₃ а₂₁ а₃₂ - а₁₃ а₂₂ а₃₁ - (1)

а₃₁ а₃₂ а₃₃ - а₁₂ а₂₁ а₃₃ - а₁₁ а₂₃ а₃₂

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса (правилом треугольников), которое символически можно записать так:

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

• • • = • • • + • • • + • • • - • • • - • • • - • • •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Минором некоторого элемента данного определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если из данного определителя третьего порядка вычеркнуть столбец и строку, содержащие рассматриваемый элемент. Минор элемента а_ij обозначается через М _ij. Например, минором элемента а₂₂ будет определитель

М₂₂ =

Очевидно, что каждый определитель третьего порядка имеет девять миноров своих элементов.

Рассмотрим формулу (1) и в правой части ее вынесем за скобки числа, являющиеся элементами, например, первой отроки. В результате получим

а₁₁ а₁₂ а₁₃ = а₁₁ (а₂₂ а₃₃ - а₂₃ а₃₂) +

а₂₁ а₂₂ а₂₃ + а₁₂ (а₂₃ а₃₁ - а₂₁ а₃₃)+ (2)

а₃₁ а₃₂ а₃₃ + а₁₃ (а₂₁ а₃₂ - а₂₂ а₃₁)

Выражения, стоящие в скобках при элементах а_ij (i, j = 1, 2, 3), называются алгебраическими дополнениями этих элементов и обозначаются через A_ij.

Заметим, что алгебраическое дополнение элемента а_ij может отличаться от минора этого элемента только знаком. При этом, если сумма номеров строки и столбца, содержащих элемент а_ij четна, то A_ij = М_ij,если же сумма нечета, то A_ij = - М_ij, т.е.

A_ij = (-1) М_ij (3)

Воспользовавшись соотношением (3), можно разложение (2) переписать а виде

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ = (-1)¹⁺¹ а₁₁М₁₁ + (-1)¹⁺² а₁₂М₁₂ + (-1)¹⁺³ а₁₃М₁₃ (2')

а₃₁ а₃₂ а₃₃

И вообще

а₁₁ а₁₂ а₁₃

а₂₁ а₂₂ а₂₃ = (-1)ⁱ⁺¹ а_i1М_i1 + (-1)ⁱ⁺² а_i2М_i2 + (-1)ⁱ⁺³ а_i3М_i3 (4)

a₃₁ а₃₂ а₃₃

Формула (4) называется формулой разложения определителя третьего порядка по элементам i-й строки.

Студент должен уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных), по формулам Крамера.

I. Сущность метода Гаусса состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в эквивалентную ей ступенчатую (или, в частности - треугольную) систему.

Ступенчатой системой называется система линейных уравнений вида:

где k ≤ n , а_ij ≠ 0, i = 1, 2, . . . ; k.

Если k = n, то система (5) называется треугольной.

Последовательное исключение неизвестных обычно осуществляется с помощью элементарных преобразований системы, к которым относятся:

а) перестановка любых двух уравнений,

b) умножение обеих частей одного уравнения на любое отличное от нуля число,

c) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число, отличное от нуля. Можно доказать, что элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в эквивалентную ей систему.

2. Правило Крамера. Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

x_j = ∆j/∆ , j = 1, 2, ... , n (6)

где ∆ - определитель системы, a ∆j - определитель, получающийся из определителя системы ∆ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xj свободными членами.