Методические указания к выполнению контрольной работы №1 Тема №1. Метод координат. Прямая линия.

Э.С. Маркович, ч.1, раздел 1, глава 1, §§ 1-5, глава 2, §§ 6,7, глава 3, §§ 8-13, упражнения.

Указания.

В учебниках показано, что если на плоскости введена система координат, то каждой точке плоскости сопоставлена вполне определенная упорядоченная пара действительных чисел - ее координаты.

Обратно: каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка плоскости.

Студент должен уметь строить точку по заданным ее координатам и определять координаты точки, если задано ее положение на плоскости.

Взаимно однозначное соответствие, установленное между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел, например х и у, дает возможность истолковать на геометрическом языке различные соотношения между величинами х и у.

Всякую линии в аналитической геометрии рассматривают как множество точек, обладающих некоторым свойством. Так, например, окружность - это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от некоторой точки, называемой центром окружности.

В аналитической геометрии рассматриваются две основные задачи:

1. составить уравнение заданной линии,

2. построить (или исследовать) линию по ее уравнению.

Решение задач по аналитической геометрии, как правило, должно достигаться алгебраическим путем, поэтому рисунки и геометрические построения играют здесь лишь вспомогательную роль.

Примеры решения задач.

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-2;4), В(6;-2), С(8;7). Требуется найти: 1)длину стороны АВ; 2) уравнения сторон в общем виде; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 4) точку Q пересечения медиан; 5) точку Н пересечения высот; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС; 7) сделать чертеж.

Решение. 1. Расстояние α между точками А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) вычисляется по формуле:

α =

Подставив в нее координаты точек А и В, получаем

α _АВ=

2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂), имеет вид:

Подставив в него координаты точек А и В, получаем уравнение прямой АВ:

4у – 16 = - 3х – 6; 3х + 4у – 10 = 0 (АВ).

Подставив в уравнение прямой, проходящей через две данные точки, координаты точек А и С, получаем уравнение прямой AС:

Аналогично находим уравнение прямой ВС:

3. Для нахождения внутреннего угла А треугольника воспользуемся формулой тангенса угла φ между двумя прямыми:

Из рис. 1 следует, что в качестве k₁ следует взять угловой коэффициент прямой АВ, а в качестве k₂ - угловой коэффициент прямой АС.

Чтобы найти угловой коэффициент прямой АВ, запишем ее уравнение в виде у = kх + b:

Аналогично, из общего уравнения прямой АС 3х - 10у + 46 = 0, находим k_АС = .

Подставив в формулу для вычисления tgφ угловые коэффициенты k_АВ и k_АС, получаем:

откуда A=53˚33'. Используя таблицу перевода градусной меры в радианную, получаем А ≈ 0,935 рад.

Рис 1.

4. Известно, что точка Q пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины. Тогда для отрезков медианы СЕ имеет место равенство: |CQ|/|QE| = λ = 2.Таким образом, координаты точки Q можно вычислить по формулам деления отрезка в данном отношении:

Найдем сначала по этим формулам координаты точка Е, делящей сторону АВ пополам. Здесь

Получаем:

Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении для нахождения координат точки Q, подставив в них координаты точек С и Е:

Итак, Q (4;3) - точка пересечения медиан треугольника.

5. Чтобы найти координаты точки Н пересечения высот, решим совместно систему уравнений двух из них, например, АD и ВК. Составим эти уравнения.

Высота АD перпендикулярна стороне ВС. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно, k_AD = - 1/ k_ВC. Так как k_BC = 9/2, то k_AD.= -2/9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид:

у - у₁ = k (x - x₁).

Подставив в него координаты точки А(-2; 4) и найденный угловой коэффициент k_АD = - 2/9, получаем уравнение высоты АD:

у - 4 = - 2/9(х +2), 2х + 9у - 32 =0 (АD).

Подставив в уравнение у - у₁ = k (x - x₁) координаты точки В(6;-2) и угловой коэффициент высоты ВК (k_BK = -1/ k_AC =-/3/10 = = - 10/3), получаем уравнение высоты ВК:

у + 2 = -10/3(х - 6), 10х + 3у - 54 = 0 (ВК).

Решив систему уравнений:

получаем координаты точки Н

х_н = 4•9/14, у _н= 2•11/21

6. Множество точек треугольника АВС можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, третья ограничена прямой СА и содержит точку В.

Подставив в левую часть уравнения прямой АВ координаты точки С, получаем: 3•8 + 4•7 –10 > 0. Следовательно, неравенство, определяющее первую из этих полуплоскостей, имеет вид:

3х + 4у – 10 ≥ 0.