Неопределенный и определенный интегралы.

В задачах 61 – 70 найти интегралы:

61. 1. ∫(3x² – )dx ,

2. ∫(e^2x + sin2x)dx,

3. ∫x dx,

4. ∫ sin2xdx,

5. .

62. 1. ∫ dx,

2. ∫ dx,

3. ∫tgxdx,

4. ∫ ,

5. .

63 1. ∫ ,

2. ∫ ,

3. ∫ ,

4. ∫x + 2dx,

5. .

64. 1. ∫ dx,

2. ∫ ,

3. ∫cos(3x + 4)dx,

4. ∫cos3xdx,

5.

65 1. ∫(x + 1)(x + 3)dx,

2. ∫ ,

3. ∫x dx,

4. ∫sin3xdx,

5.

66.1. ∫ dx,

2. ∫ ^,

3. ∫

4. ∫cos2xdx,

5. .

67.1. ∫ ,

2. ∫ dx,

3. ∫x² dx,

4. ∫sin4xdx,

5. .

68.1. ∫x(1 – x³)dx,

2. ∫(cos4x – e^2x-1)dx,

3. ∫sin⁶xcosxdx,

4. ∫cos4xdx,

5.

69.1. ∫ dx,

2. ∫ ,

3. ∫ dx,

4. ∫tg2xdx,

5. .

70.1. ∫ dx,

2. ∫ ,

3. ∫(e^3x-2 + sin3x)dx,

4. ∫ctg2xdx,

5.

Дифференциальные уравнения.

В задачах 71 – 80 даны дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка. Найти общее решение каждого из этих уравнений:

71. хуу' = 1 -x² ,

у'' + 2у' + 5у = е^х.

72. ху²у' = 2 + x³,

у'' + 4у = е^х.

73. у'х = у (х + 1),

у'' + у' – 2у = е^х.

74. у' = х е^х-у,

у' + 4у' +3у = х.

75. у'х = 1 + у²,

у'' + 9у' = (х³ + 1) е^3х.

76. у' = е^{х +у},

у'' – 7у' + 12 у = х.

77. у'х = е^у,

у'' – 7у' + 6у =

= (х –2) е^х.

78. у' = х ,

у'' – у = 5х + 2.

79. у'cosy = sinx,

y'' + 6y' + 5y = е^2x.

80. е^х y' = y,

y'' + 9y = 6 е^3x.

Контрольная работа №2 по курсу теории вероятностей и математической статистики.

81. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того что: а) студент знает все три вопроса; б) только два вопроса; в)только один вопрос экзаменационного билета.

82. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, a затем из второй урны вынули нау­гад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шap окажется черным.

83. Два стрелка в одинаковых и назависимых ус­ловиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым - 0,8. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадает в цель; б) два стрелка попадут в цель.

84. Вероятность наступления события в каждой из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

85. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9 , второе - 0,95 и третье - 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство, б)только два устройства; в) все три устройства.

86. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

87. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, наудачу взятых из этой партии, ровно 3 окажутся дефектными.

88. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.

89. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляют детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10% на втором - 30%, на третьем - 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 - если на втором станке, и 0,9 - если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

90. Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Каков вероятность того, что среди них окажутся ровно 2 помеченные щуки?

В задачах 91 – 100 дискретная случайная величина Х может принимать только 2 значения: Х₁ и Х_2, причем Х₁ < Х₂ . Известны вероятность Р₁ возможного значения Х₁, математическое ожидание μ(х) и дисперсия σ²(х) = D(x). Найти закон распределения этой случайной величины.

	Р1	М(х)	D(x)
91	0,1	3,9	0,09
92	0,3	3,7	0,21
93	0,5	3,5	0,25
94	0,7	3,3	0,21
95	0,9	3,1	0,09
96	0,9	3,2	0,36
97	0,8	3,2	0,16
98	0,6	3,4	0,24
99	0,4	3,6	0,24
100	0,2	3,8	0,16

В задачах 101 – 110 известны математическое ожидание μ и сред­нее квадратическое отклонение σ нормально распреде­ленной случайной величины X. Найти вероятность попада­ния этой величины в заданный интервал (α; β).

	μ	σ	α	β
101	10	4	2	10
102	9	5	5	10
103	8	1	4	9
104	6	3	2	11
105	5	1	1	10
106	4	5	2	11
107	3	2	2	10
108	2	5	4	9
109	2	4	6	10
110	7	2	3	10

В задачах 111 – 120 найти доверительный интервал для оценки математического ожидания μ нормального распределения с доверительной вероятностью 0,95, зная выборочную среднюю , объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

	x	n	σ
111	75,17	36	6
112	75,16	49	7
113	75,15	64	8
114	75,14	81	9
115	75,13	100	10
116	75,12	121	11
117	75,11	144	12
118	75,10	169	13
119	75,08	196	14
120	75,09	225	15

В задачах 121 – 130 количественный признак Х генеральной совокупности распределен нормально. Требуется найти: а) число объектов n в выборке, б) несмещенное среднее значение и “исправленное” среднее квадратическое отклонение S_x , в) доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания μ, “исправленного” среднего квадратического отклонения σ генеральной совокупности, если дана выборка:

121

х _i 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ,

n_i 1 2 3 4 3 7 11 11 9 6 7 3 1 2

а доверительная вероятность Р = 99,9%

122 Те же значения варианты с теми же значениями частот, что и в задаче 121, но доверительная вероятность Р = 95 %.

123 Те же значения варианты с теми же значениями частот, что и в задаче 121, но доверительная вероятность Р = 99 %.

1 24

х_i 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 ,

n_i 1 2 2 5 7 4 3 1

а доверительная вероятность Р = 99,9 %.

125 Те же значения варианты с теми же значениями частот, что и в задаче 124, но доверительная вероятность Р = 95 %.

126 Те же значения варианты с теми же значениями частот, что и в задаче 124, но доверительная вероятность Р = 99 %.

127

х _i 10 11 11,5 12 12,5 13 14 14,5 15 15,5 ,

n_i 1 1 3 4 6 6 5 4 3 2

а доверительная вероятность Р = 99,9 %.

128 Те же значения варианты с теми же значениями частот, что и в задаче 127, но доверительная вероятность Р = 95 %.

129 Те же значения варианты с теми же значениями частот, что и в задаче 127, но доверительная вероятность Р = 99 %.

1 30

х_i 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,7 5,8 6,0 6,2

n_i 1 1 2 4 5 3 2 1 1

а доверительная вероятность Р = 99,9 %.

В задачах 131 – 140 для нормально распределенной случайной величины оценить: а) объем выборки, чтобы точность оценки μ равнялась β₁ %, б) необходимый объем выборки, чтобы точность оценки σ равнялась β₂ %.

	Sx	P(%)	Β1(%)	Β2(%)
131	0,2	95	3	14
132	0,2	99	4	16
133	0,2	95	5	10
134	0,5	95	2	14
135	0,5	99	5	16
136	0,5	95	5	10
137	0,4	95	2	14
138	0,4	99	5	16
139	0,4	95	5	10
140	0,6	95	2	14

В задачах 141 – 150 определить пределы, в которых с заданной доверительной вероятностью Р лежит вероятность выздоровления р, если при использовании определенных методов лечения из n больных, подвергшихся этой процедуре, было из m выздоровевших.

	n	m	P(%)
141	50	40	99,9
142	50	10	95
143	50	30	99
144	30	25	99,9
145	30	20	95
146	30	30	99
147	20	14	99,9
148	20	10	95
149	20	5	99
150	200	100	99,9

В задачах 151 – 160 определить достоверность различия ₁ и ₂ при заданном уровне значимости 0,05:

151 n₁ = 20 ₁ = 17 S₁ = 3

n₂ = 30 ₂ = 12 S₂ = 2

152 n₁ = 16 ₁ = 13 S₁ = 5

n₂ = 18 ₂ = 20 S₂ = 6

153 n₁ = 10 ₁ = 18 S₁ = 5

n₂ = 10 ₂ = 23 S₂ = 6

154 n₁ = 20 ₁ = 21 S₁ = 5

n₂ = 12 ₂ = 25 S₂ = 6

155 n₁ = 20 ₁ = 17 S₁ = 3

n₂ = 30 ₂ = 12 S₂ = 4

156 n₁ = 16 ₁ = 13 S₁ = 3

n₂ = 18 ₂ = 20 S₂ = 4

157 n₁ = 10 ₁ = 18 S₁ = 3

n₂ = 10 ₂ = 23 S₂ = 4

158 n₁ = 20 ₁ = 21 S₁ = 3

n₂ = 12 ₂ = 25 S₂ = 4

159 n₁ = 20 ₁ = 17 S₁ = 5

n₂ = 30 ₂ = 12 S₂ = 4

160 n₁ = 16 ₁ = 13 S₁ = 5

n₂ = 18 ₂ = 20 S₂ = 4