Методические указания к выполнению контрольной работы №2. Основы теории вероятностей и элементы математической статистики.

Указания.

Э.С. Маркович, часть 2, главы 1 - 6, упражнения.

Случайные события.

Для успешного выполнения упражнений необходимо ознакомиться с элементами комбинаторики, в частности с таким понятием, как сочетания.

Сочетаниями из n элементов по m называются наборы (соединения), составленные из n элементов по m элементов в каждом наборе, которые отличаются хотя бы одним элементом. Например, сочетаниями из 9 первых натуральных чисел по 4 будет:

{1; 2; 3;4}, {1; 2; 5; 4}, {5; 6; 7; 8},{1; 3; 5; 9}, и т.д.

Число всех возможных сочетаний из n элементов по m обозначается и вычисляется по формулам:

где n! = 1 • 2 • 3 •... • n, m! = 1 • 2 • 3 •...• m, (n - m)! = 1 • 2 • 3 •...• • (n - m). В частности C = 1, C = n, C = C , 0! = 1, 1! = 1,

Последняя формула полезна, когда n - m < m. Например,

C = C = C = 8 ∙ 7 ∙ ∙ 2 ∙ 3=56.

Задача 1. В ящике 9 мышей. Сколько способов отобрать 4 из них?

Решение. Искомое число есть число сочетаний из 9 по 4.

Формулой Бернулли при повторных независимых испытаниях практически пользуются при небольших значениях числа n. При больших значениях числа n применяют локальную теорему Лапласа:

Значения функции φ(x) приведены в приложении 1 руководства В.Е. Гмурмана, а т.к. эта функция четная, то этим же приложением 1 пользуются и для отрицательных значений х: φ(-x) = φ(x).

Понятия математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения принадлежит к числу наиболее важных, поэтому решению задач на усвоение этих понятий необходимо уделить особое внимание.

Обратите внимание на теоремы, которые позволяют найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Эти вопросы решаются с помощью интегральной функции Лапласа, значения которой для различных х даны в приложении 2 руководства В.Е. Гмурмана, а т.к. интегральная функция Лапласа есть нечетная, то при отрицательных значениях аргумента пользуются этим же приложением 2: Ф(-х) = -Ф(х).

Весь материал, относящийся к нормальному закону распределения следует изучить наиболее основательно. Проанализируйте положение и форму кривой Гаусса при изменении математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Изучая элементы математической статистики, следует хорошо уяснить, что точечные оценки для выборочной средней ( ) и выборочной дисперсии (S_x²) при малом числе (n) наблюдений могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать этих ошибок, пользуются интервальными оценками. Задача сводится к отысканию доверительного интервала, который с заданной надежностью (j) покрывает оцениваемый параметр. Наиболее часто надежность принимают равной 0,95, или 0,99, или 0,999.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения имеет вид:

– t_Jּ <μ < + t_Jּ

и t_J определяется по таблице, данной в приложении 2 руководства В.Е. Гмурмана: 2Ф(t) = j, Ф(t) = . Если известно S_x , то t находят по приложению 3 руководства В.Е. Гмурмана.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения σ генеральной совокупности имеет вид

S_x(1-q_jn) < σ < S_x(1+q_jn),

где q_jn находят по приложению 4 руководства В.Е. Гмурмана.

Если задается определенная точность δ при нахождении и известен разброс изучаемого материала S_x, то можно заранее вычислить объем выборки

n ≥

А затем необходимо решить вопрос: соответствует ли данное эмпирическое распределение тому или иному теоретическому распределению, в частности, нормальному закону распределения. Естественно, в первую очередь надо прове­рить, обладает ли это эмпирическое распределение теми свойствами, какие мы считаем характерными для нормального распределения.

Задача в любом случае сводится к проверке гипотезы об отсутствии реального различия. Эту гипотезу называют нулевой и обозначают H_o.

Пользуясь t— критерием определяют

t_набл =

и если доверительная вероятность 0,99, то уровень зна­чимости α = 0,01. Затем по приложению 3 руководства В.Е. Гмурмана определяют t_α. Если t_набл > t_α, то Н_о от­вергают, если t_набл < t_α, то оснований отвергнуть H_о нет.

Следует помнить, что для разных задач имеется своя формула для определения t_набл.

Кроме статистических моментов (х, Sх) бывает важно построить подходящую математическую модель распределения, такую, которая бы правильно описывала эмпирическое расп­ределение.

Критерий λ² т.е. критерий Пирсона решает этот воп­рос сравнением частот распределений.

Опытное значение λ² определяется по формуле

λ² =

Затем по приложению 5 руководства В.Е.Гмурмана определяют λ²_кр (α, n) и если λ² < λ²_kp ,то нулевая гипотеза принимается.

Характеризуя один и тот же объект, мы имеем вариации по различным признакам. И очень часто можно усмотреть связь между ними. Такую связь принято называть корреляцией между признаками, выборочный коэффициент корреляции обозначается через r_в и вычисляется по формуле

r_в =

где x, у - варианты признаков X и Y, n_xy - час­тота наблюдавшейся пары вариант (X, Y).

n - объем выборки (сумма всех частот),

x, у - выборочные средние,

S_х ,S_у - выборочные средние квадратические отклонения.

Выборочное уравнение линии регрессии Y X имеет

_x – = r_в (x – ).

Затем, имея некоторый эмпирический ряд точек х, у, можно выявить основную тенденцию, которая характеризует этот ряд. То, что эмпирические точки не ложатся на од­ну прямую, есть результат статистических вариаций, нес­колько смещающих "истинные" значения вверх или вниз (как следствие случайного сочетания воздействий многих небольших побочных факторов). Эту задачу принято называть задачей о выравнивании рядов, она решается при помощи метода наименьших квадратов.