Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
http://www.apple-iphone.ru/forum/viewtopic.php?...doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
1.07 Mб
Скачать

Тема №3 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Э.С. Маркович. ч.1, раздел 6, глава 15, упражнения.

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе.

Основная проблема при изучении этой темы возникает в момент дифференцирования указанных функций. Это связано с тем, что при дифференцировании функции по одной переменной все другие переменные предполагаются постоянными величинами. Например,

(x + y)x' = x x' + y x' = 1 + 0 = 1; (xy2) y' = x(y2) y' = 2xy; x y' = 0 ,

y x' = 0

Задача 1. Найти частные производные функции Z = xy.

Решение: Найдем производную функции Z по переменной х. В этом случае при дифференцировании величина у считается постоянной и поэтому: (xy)x' = yxy-1

Аналогично найдем производную функции по у, считая величину х постоянной

(xy)y' = xyln|x|

В естествознании приходится пользоваться эмпирическими формулами, составленными на основе опыта и наблюдений. Один из наилучших методов получения таких формул - это способ наименьших квадратов.

Поясним идею этого способа на примере.

Задача 2. Даны значения переменных величин х и у, полученных в результате опыта:

х 0 1 2 3 4 5 6 Таблица 1.

у -3 -1 1 3 5 7 9

При этом предполагается, что х и у связаны уравнением

у = ах + b (1)

Требуется найти параметры а и b этого уравнения способом наименьших квадратов.

Решение: Известно, что для определения двух параметров а и b функции (1) способом наименьших квадратов по значениям переменных надо составить и решить систему двух уравнений вида

где n = 7 (число опытов).

Для удобства расчетов составим таблицу 2.

i

xi

yi

xi2

xiyi

1

0

-3

0

0

2

1

-1

1

-1

3

2

1

4

2

4

3

3

9

9

5

4

5

16

20

6

5

7

25

35

7

6

9

36

54

n

i=1

21

21

91

119

Составляем систему уравнений:

Решая эту систему при помощи определителей второго порядка, находим:

Подставляя полученные значения a и b в формулу (I), найдем уравнение прямой

y = 2x – 3,

которое приближенно выражает искомую зависимость между х и у.

Рис 3.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется функцией двух переменных?

2. Дайте определения частных производных.

3.Как находится экстремум функции нескольких переменных?

4. В чем состоит способ наименьших квадратов построения эмпирических формул?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]