§ 6. Марковость в задаче Эрланга

Входящий поток - простейший, время обслуживания - показательное, случайный процесс – марковский.

Доказательство:

◄ ; ; ; - последующие моменты.

3 фактора, определяющих .

1. Моменты окончания тех разговоров, которые ведутся в момент . Имеет место независимость от прошлого. Длины разговоров распределены экспоненциально

2. Моменты поступления новых вызовов в интервале .

Независимость от прошлого вытекает из того, что входящий поток простейший марковский.

3. Моменты окончания новых разговоров. Раз вызовы поступили после разговоры заканчиваются или нет независимо от ►.

§ 7. Выходящий поток из непрерывно загруженной смо

I. .

Пусть СМО загружена непрерывно. Тогда поток обслуженных вызовов является простейшим с параметром .

◄ Поток освобождений линии является марковским, так как количество освобождений в промежутке не зависит от количества освобождений до этого промежутка. для , длины разговоров независимы друг от друга, все распределены по показательному закону получаем простейший поток с параметром . - вероятность освобождений за промежуток длины .

Пример: Пусть - время исправной работы прибора. распределено по показательному закону с параметром . После поломки прибор заменяется на новый (такой же). - вероятность, что за время произойдет ровно поломок. Линия – условное место, занимаемое прибором.

II. линий.

Тема 2. Системы с отказом и смежные с ними

Пусть - число линий в пучке.

Состояния СМО: ;

Всего состояний СМО .

Допущения и исходные данные

Входящий поток – простейший с параметром , время обслуживания имеет показательное распределение с параметром .

§ 1. Пгр и стационарное решение для системы с отказом

I. ПГР

Утверждение: В случае системы с отказом (СОТ) состояние СМО на момент времени есть марковский ПГР с параметрами ; .

1. То, что - марковский, вытекает из теоремы в § 7.

2. - ПГР. Рассмотрим два потока: наш входящий поток и поток освобождений линий (обслуженных вызовов) .

Для потока (1)

- вероятность того, что в промежутке будет не менее одного вызова.

(2)

(3)

Замечание 1: Если - ординарный поток. Физический смысл ординарности – вызовы поступают поодиночке.

Замечание 2: Третье определение простейшего потока:

Поток вызовов называется простейшим, если он:

1. Процесс без последействия (марковский).

2. Стационарный.

3. Ординарный.

Можно проверить, что это определение простейшего потока равносильно двум другим.

Для выходящего потока (вероятности обозначим ):

1. Если в данный момент линия занята, то за промежуток она:

   1. Не освободится с вероятностью .

   2. Освободится с вероятностью .

2. Если линий пучка в данный момент заняты, то вероятности того, что за промежуток :

   1. Ни одна не освободится. (5)

   2. Освободится по крайней мере одна из них. (6)

   3. Освободится только одна из них. (7)

   4. Освободится больше одной из них. (8)

определяется поступлением вызовов и освобождением – элементарными событиями.

Для элементарных событий вероятность наступления хотя бы одного из них равна ;

1. за . , где по (3) (5).

2. за . , где .

3. . , что и требовалось доказать - ПГР.

Стационарные решения.

. Подставляем сюда значения параметров и многократно используем реккурентные соотношения.

; ; ; Пусть ; .

Нормировочное условие

Пусть - число вызовов в системе.

- по формулам Эрланга.

Формулы Эрланга получены в предположении о показательном распределении длин разговоров. Как показал профессор Севастьянов, они сохраняются при любом законе распределения длин разговоров. Но возникает вопрос: откуда взять откуда взять ?