§ 3. Задание потока вызовов

Способ 1: Поток вызовов как случайный процесс. . - число вызовов, поступивших в промежутке .

Если меняется, то - семейство случайных величин, зависящих от - случайный процесс.

Свойства :

1. Дискретность:

2. Монотонность реализации: количество вызовов не уменьшается с течением времени.

Необходимо знать функцию распределения вектора

; ; ;

, где - произвольный набор целых неотрицательных чисел.

;

Способ 2: - начальный момент потока.

- момент поступления -го вызова

Свойства :

1. - непрерывная случайная величина

2. 

3. . Возможно групповое поступление вызовов.

] ; . - длина промежутка времени между и .

Свойства :

1. - непрерывная случайная величина.

2.

ОПР: Поток вызовов – последовательность моментов их поступления. , образуется с помощью случайной величины .

Поток задан, если известна

§ 4. Простейший поток вызовов

. Первое определение простейшего потока: поток вызовов простейший, если:

1. – марковский.

2. Вероятность поступления ровно вызовов в промежутке времени длиной не зависит от начального момента этого промежутка (условие стационарности).

3. ; (1)

, - параметр простейшего потока.

- кривая Пуассона -го порядка.

Графики

,

,

,

1. Два простейших потока могут отличаться друг от друга только значением параметра.

2. 

3. 

Академик Хинчин: простейшим является любой поток, который складывается из достаточно большого числа независимых источников вызовов.

Простейший поток есть ПГР: , :

, где

с вероятностью 0.

с вероятностью , где

Примеры простейших потоков:

1. Поток вызовов на АТС.

2. Поток судов, прибывающих в данный порт.

3. Поток поломок (скажем, телевизоров).

аргумент - площадь.

аргумент - объем.

ОПР: – интенсивность данного стационарного потока – среднее число вызовов, поступающих за промежуток единичной длины . Среднее число вызовов в промежутке пропорционально длине этого промежутка, причем является коэффициентом пропорциональности.

; ;

Для простейшего потока .

Расчёт (или ) на практике.

Пусть существует 100 промежутков единичной длины.

- фактическое число вызовов.

Рассмотрим второе определение: поток вызовов называется простейшим, если для него выполняется следующее:

1. – марковский

2. - независимые случайные величины

3. Все распределены по одному и тому же закону, P для .

Определения эквивалентны.

1

З амечание: . вызовов

§ 5. Свойства показательного распределения разговора

- длина разговора.

- вещественное число.

Пусть случайная величина - остаток разговора после момента .

- функция распределения .

при - безусловная вероятность

при - условная вероятность.

Теорема: Для того, чтобы был распределен так же, как и , необходимо и достаточно, чтобы закон распределения был показательным.

(1)

Достаточность:

. не зависит от не зависит от .

Необходимость - без доказательства.

Замечание 1: Если функции распределения случайных величин совпадают, то такие случайные величины отождествляются. . Тогда - семейство случайных величин, зависящих от - случайный процесс.

З амечание 2: Показательный закон играет исключительную роль среди всех законов распределения - только при показательном законе распределения остаток ведет себя так же, как и весь разговор.

в вероятность закончиться у обоих разговоров

Замечание 3: Физический смысл показательного закона. Длина разговора является бесконечно малой величиной. Большинство вызовов нуждается в кратковременном (близком к 0) обслуживании. Поскольку в реальности дело обстоит не так, эта предпосылка неверна. Тем не менее, предполагаем закон распределения показательным.

Замечание 4: Со временем от этой предпосылки удалось отказаться. - любое.

Замечание 5: Физический смысл параметра : - средняя длина разговора. - интенсивность обслуживания вызовов на линии.

Замечание 6: Расчет . Делаем 100 наблюдений за реальным временем обслуживания .