§1.12.Основы геометрической теории дифракции.

Рассеяние рентгеновских лучей происходит от атомов, которые мы мысленно располагаем на плоскостях. Это наиболее удобная модель. Разные атомы рассеиваются по-разному. Структурный фактор учитывает особенности атомов.

Определяют:

1. Ось элементарной ячейки и тип её симметрии.

2. Параметры элементарной ячейки

3. Сингонии.

4. Тип решётки Бравэ.

5. Пространственную группу симметрии (Фёдоровскую группу).

6. Интенсивность дифракционного максимума.

7. Расширяют дифракционную картину и строят карту распространения дифракционной (ядерной) плотности.

В 1912 году Вульф и Брэгг сформулировали теорию, которая объясняла интерференцию рентгеновских лучей.

Интерференция рентгеновских лучей в кристалле может быть представлена таким образом, считая, что эти лучи зеркально отражаются от атомных плоскостей. Однако это не полный аналог зеркального отображения в оптике. Так как кристалл частично прозрачен, и рентгеновские лучи всё-таки проникают вглубь кристалла и многократно отражаются от разных плоскостей, и, если фазы совпадают, то происходит усиление, если фазы не совпадают, то угасание.

DC - фронт волны рассеянных лучей - перпендикулярен направлению луча.

Для усиления необходимо, чтобы разность хода равнялась целому числу длин волн (фазы колебаний совпадают):

(1.32)

Условие для усиления амплитуды волн - (1.33)

Это(1.33) и есть условие Вульфа-Брэгга. Если разность хода не равна целому числу волн, то интерференционного максимума не наблюдается. Дифракция волн возникает, если .

Зная угол падения, всегда можно определить межплоскостное расстояние d, а это характеристика определённого типа плоскостей, по нему можно определить индексы Миллера h, k, l.

Д опустим, необходимо расшифровать структуру, зная направление рассеянных лучей ( ).

Дифракция при упругом рассеянии – изменение направления волны происходит без изменения длины волны.

Общее решение позволяет по-иному записать условие Вульфа – Брэгга.

волновой вектор

вектор рассеянного излучения

вектор обратной решётки

Если выполняется условие Вульфа – Брэгга, то при упругом рассеянии

(1.34)

(1.34) - векторная формулировка условия Вульфа – Брэгга.

Вектор - образует множество точек, а совокупность векторов это обратная решётка.

Используется волновой подход для анализа электронограмм. Каждый вектор характеризует определённую точку обратного пространства, а она в свою очередь отвечает определённому типу плоскости в прямом пространстве.

(1.35)

Возводя выражение (1.35) в квадрат и учитывая, что , вычитая из каждой части квадрат модуля .

(1.36) – условие Вульфа – Брэгга в векторной форме для зонной теории электронов.

По формуле (1.34) , с учётом того, что , получим три выражения, которые связывают параметры прямой решётки, индексы Миллера (параметры обратной решётки) и разность векторов, падающего и рассеянного излучения.

(1.37)

Соотношение Лауэ (1.37) – позволяет определить направление интерференционных лучей при рассеянии первичного излучения на узлах кристаллической решётки. Эти уравнения полезны при описании симметрии и реальной структуры кристалла.

Используя (1.36) можно показать, что оно эквивалентно обычной форме записи условия Вульфа – Брэгга.

где n –порядок интерференции (порядок отражения).

Используя интерференционное соотношение в векторной форме, путём геометрического построения обратной решётки и сферы отражения, можно определить направление отражения рассеянных лучей.

Впервые этот приём предложил Эвальд:

1. Условие упругого отражения .

2. Оба вектора начинаются и заканчиваются на узлах обратной решётки.

С учётом условий 1),2­), строим сферу Эвальда, у которой (сфера в обратном пространстве). Если повернуть вектор на угол , сфера попадает в точку обратной решётки. Сфера Эвальда позволяет определить возможные направления рассеянных лучей, это геометрическая интерпретация условия Вульфа –Брэгга в векторной форме.

Итог:

1. Возможные направления рассеянных лучей отвечают точкам пересечения сферы Эвальда с узлами обратной решётки.

2. Дифракционный максимум наблюдался в направлении, образующем угол в направлении вектора .

3. это вектор рассеяния при дифракции и он совпадает с вектором обратной решётки.

4. Зная , можно определить индексы плоскостей прямой решётки.

5. Для определения распространения электронной плотности в пространстве, нужно знать структурную амплитуду (из интенсивности структурных рефлексов).