§1.10.Зона Бриллюэна.

Часто примитивная элементарная ячейка не всегда отражает все свойства. Поэтому в пространственной решётке вводится решётка Вигнера-Зейца – элементарная примитивная.

Для обратной решётки можно построить решётку Вигнера-Зейца , которая обладает всеми свойствами трансляционной и точечной симметрии и одновременно является примитивной. Такая решётка называется зоной Бриллюэна - это некоторая область пространства, ограниченная плоскостями в соответствии с правилами построения ячейки Вигнера-Зейца.

Именно это понятие используется для анализа явлений в кристаллических телах. Существуют первая, вторая и третья зоны Бриллюэна.

Таблица 4.

Решётка Бравэ	Обратная решётка	Зона Бриллюэна
P	P	Кубическая
ОКЦ – J	ГКЦ - F	Ромбо-додэкаэдрическая
ГКЦ - F	ОКЦ – J	Кубооктаэдрическая

Обратная решётка обладает трансляционной симметрией. Трансляционный вектор:

, где (1.16)

h, k, l- целые числа – индексы Миллера в обратном пространстве, определяет кратность векторам в примитивном пространстве.

Замечания:

• Соотношения между физическими величинами и явлениями в прямом и обратном пространстве симметричны, то есть решётки, построенные на векторах а_i и b_i находятся в обратной связи друг с другом.

• Функции, описываемые физическими явлениями (на микро- уровне), являются периодическими. (Причём с той же периодичностью, что и прямая решётка).

(1.17)

Период совпадает с периодом кристаллической решётки. F можно разложить в ряд (так как это периодическая функция) Фурье, поэтому легко показать, что скалярное произведение 2-х векторов трансляции равно m, где m – целое число.

(1.18)

Формула (1.8) - это условие периодичности строения кристаллического тела.

Преобразование Фурье может привести к тому, что формула (1.18) запишется по-иному. Масштаб в обратном пространстве можно выбрать по-разному, выбрав коэффициент - каждый вектор трансляции обратной решётки. Суть та же, меняется размерность. Существует 2 типа решёток с разным масштабом. Коэффициент используется в физике, тогда как в кристаллографии обходятся без .

(1.19)

(1.20)

Обратное пространство, имеющее параметры в раз больше обычной обратной решётки называется k- пространством, в котором анализируются волновые процессы.

Понятие квази - частицы: фонон – это некая волна и частица. Размерность волнового Где k- модуль волнового вектора.

вектора может быть доведена до размерности импульса. Обратное пространство можно представить как пространство импульсов.

(1.21)

Каждая точка обратной решётки соответствует определённому состоянию физической системы с определённым значением волнового вектора -импульса.

Для данного семейства плоскостей, заданного индексами Миллера , межплоскостное расстояние – d, B - произвольный вектор трансляции.

(1.22)

(1.23)

Вектора сопряжены вектору .

Можно сказать, что индексы Миллера некой прямой решётки, это координаты наименьшего вектора обратной решётки.

Условие периодичности в обратной решётке:

(1.24)

Если решётка прямая, можно выделить элементарную ячейку и спрогнозировать её свойства. Если решётка обратная, выделяют и элементарную, и примитивную ячейку. Так как физические величины являются периодическими функциями волнового вектора , а период равен , то для описания многих физических явлений в кристалле достаточно рассмотреть одну ячейку обратной решётки. Этой ячейкой является первая зона Бриллюэна.

Следствие:

При рассмотрении поведения квази частиц с волновыми свойствами в обратном пространстве, все значения волновых векторов , характеризующих состояние системы, лежат в первой зоне Бриллюэна. То есть для анализа явлений достаточно рассмотреть первую зону Бриллюэна.

Пример.

Необходимо найти обратную решётку для простой кубической.

1 )

2)Вычислить объём элементарной ячейки (как смешанное произведение векторов)

3)Найти примитивные вектора обратной решётки.

Это означает, что обратная решётка тоже кубическая. Попытаться в k–пространстве построить зону Бриллюэна. (Изменяется масштаб на )

4) Границы лежат в пределах

Симметрия сохраняется, одномерная модель твёрдого тела – цепочка атомов, обладающая однородностью (макро-уровень) и периодичностью (микро - уровень).