Направления задаются двумя точками, но так как одна из них находится в начале

координат, то задание направления происходит при помощи чисел [[m, n, p]] , причём не обязательно, что 2 узла

З адание плоскостей:

Плоскость задаётся тремя точками, h, k, l – индексы Миллера.

(1.7)

(1.8)

Формула (1.8) – это уравнение плоскости.

Пусть D= , тогда

(1.9) (1.10)

Алгоритм отыскания индексов Миллера:

1. Выразить плоскость с помощью m, n, p в единицах постоянной решётки.

2. Найти обратные величины

3. Найти общий знаменатель.

4. Вычислить индексы Миллера, которые обратно пропорциональны числам

m, n, p.

Плоскости, характеризующиеся кратными индексами Миллера, называются эквивалентными и образуют систему плоскостей.

Свойства индексов Миллера:

• Если плоскость параллельна какой-либо из кристаллографических осей, то соответствующий индекс равен 0.

• Если плоскость параллельна двум кристаллографическим осям, то 2 индекса равны нулю.

• Если плоскость отсекает отрицательный отрезок, то индекс Миллера отрицательный.

• Если плоскость проходит через начало координат (m, n, p = 0), тогда плоскость нужно перенести параллельно самой себе на любую величину, найти индексы Миллера и найти систему плоскостей, (минимальное, целое, положительное - по алгоритму).

§1.9. Обратная решётка.

Обратная решётка нужна для рассмотрения вопросов, связанных с влиянием периодичности структуры на физические характеристики твёрдого тела. Все волновые процессы наиболее удобно анализировать с помощью обратного пространства.

Прямой решётке можно поставить в соответствие другую пространственную решётку (сопряжённая решётка). Обратная решётка не существует в реальном пространстве, но это удобная математическая абстракция (модель).

а₁,а₂,а₃ – прямая решётка

b₁,b₂,b₃ – обратная решётка

Связь:

(1.11)

В знаменателе – объём элементарной ячейки V₀ ,он постоянен. Если в обратной решётке построить параллелепипед на векторах , то получится элементарная ячейка обратной решётки, объём которой равен обратной величине объёма элементарной ячейки прямой решётки.

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Замечание:

1. Векторы обратной решётки измеряются в обратных единицах длины 1/м, 1/см, 1/мм.

2. Симметрия прямой решётки совпадает с симметрией обратной решётки.

3. Любой вектор обратной решётки перпендикулярен векторам прямой решётки, имеющим индексы, отличные от индексов вектора обратной решётки. Это значит, что вектор обратной решётки перпендикулярен конкретной плоскости в прямой решётке.

4)Систему плоскостей{ h, k, l} можно представить точкой (узлом).

{h, k, l}→ [[h, k, l]]

5) Систему плоскостей {h, k, l} можно представить точкой [[h, k, l ]] через вектор ,чтобы он был перпендикулярен плоскости {h,k,l}, а его длина равна величине обратной межатомному расстоянию – это расстояние между двумя плоскостями.

6)Чем более плотно упакованная решётка, тем индексы Миллера меньше.

(1.15)

Используя этот приём, получим множество точек с индексами h, k, l, которые образуют новую (обратную) решётку, где каждый узел соответствует определённому типу плоскости в прямой решётке .

Следствия:

• Можно показать, что простые решётки Бравэ, входящие в 7 сингоний, тоже являются простыми и относятся к тем же кристаллографическим системам. (Симметрия совпадает.)

• Можно показать, что обратная решётка прямых гранецентрированных решёток Бравэ (ромбическая, тетрагональная, кубическая) является объёмно-центрированной решёткой (ОЦР) той же сингонии и наоборот. (Свойство сопряжённости). Без разницы какую решётку считать прямой, какую обратной. Свойства сохраняются. (ОЦР ГКЦ).

• Прямой решётке с центрированным базисом отвечает решётка также с центрированным базисом.