§ 5.9. Распределение электронов по энергиям. Энергия Ферми.
Рассмотрим закономерности распределения электронов по энергетическим уровням на примере металлов. Для определения числа свободных носителей заряда нужно знать не только функцию плотности состояний, но и функцию вероятности заполнения электронами разрешенных состояний. Запишем следующее соотношение:
,
где (5.22.)
-
число электронов в интервале
;
N’ – число заполненных состояний;
g(E) – плотность разрешенных состояний;
f(E) – функция заполнения электроном разрешенного состояния; определяется природой самого кристалла.
Если число разрешенных состояний соизмеримо с числом частиц, занимающих эти состояния, то говорят о вырождении электронного газа. Это вырождение сильно выражено в металлах. Полупроводники могут быть вырожденными и невырожденными в зависимости от типа полупроводника и температуры.
В случае вырожденного электронного газа частицы подчиняются квантовой статистике Ферми – Дирака, а в случае не вырожденного – классической статистике Максвелла – Больцмана. Запишем функцию распределения Ферми – Дирака для сильно вырожденного электронного газа:
(5.23.)
В формуле (5.23.) EF – свободная энергия системы в пересчете на одну частицу; физически – это максимальная энергия, которую может иметь электрон в металле при температуре Т=0 К.
Графически зависимость f(E) при различных значениях температуры изображена на Рис.5.12.
Анизотропия кристаллов влияет на величину энергии Ферми. Для учета зависимостей энергии Ферми от направления существуют изоэнергетические поверхности Ферми в k-пространстве (Рис.5.14.)
В
общем случае уравнение поверхности
имеет вид:
.
Поверхность Ферми может иметь сложный вид, однако обладает симметрией кристалла и периодична в обратном k-пространстве с периодом обратной решетки. Многие электронные свойства кристалла определяются формой поверхности Ферми.
§ 5.10. Экспериментальные методы исследования электронной структуры кристалла.
Для исследования электронной структуры кристалла используются такие физические явления, как испускание и поглощение электромагнитных волн. Поскольку сплошной электромагнитный спектр твердого тела несет мало информации, то для исследования структуры твердого тела используется рентгеновское спектроизлучение, возникающее при переходе электронов между внутренними оболочками атомов, а в случае кристаллов – между состояниями различных зон.
На рис.5.15. и рис.5.16. показаны графики зависимости интенсивностей электромагнитных спектров натрия и магния от плотности заполненных электронных состояний в валентных зонах этих металлов. Отсюда можно сделать вывод, что для различных веществ ширина зоны заполненных состояний имеет разное значение (в данном случае – 3.2 эВ и 7 эВ).